向量 t、p 和 b 的导数可以表示为这些向量的线性组合。这些表达式的公式称为 Frenet-Serret 公式。这是自然的，因为 t、p 和 b 为三维向量空间形成正交基。
当然，我们已经知道 d t d s = κ p {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=\kappa p} 和 d b d s = − τ p {\displaystyle {\frac {db}{ds}}=-\tau p} ，因此，剩下的就是求 d p d s {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}} 。首先，我们对 p ⋅ p = 1 {\displaystyle p\cdot p=1} 进行求导，得到 d p d s ⋅ p = 0 {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}\cdot p=0} ，因此它采用形式 d p d s = a t + c b {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=at+cb} 。我们取此式与 t 的点积，得到 a = d p d s ⋅ t {\displaystyle a={\frac {dp}{ds}}\cdot t} 。对 p ⋅ t = 0 {\displaystyle p\cdot t=0} 进行求导，我们得到 d p d s ⋅ t + p ⋅ d t d s = 0 {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}\cdot t+p\cdot {\frac {dt}{ds}}=0} 或 d p d s ⋅ t = − p ⋅ d t d s = − κ p ⋅ p = − κ {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}\cdot t=-p\cdot {\frac {dt}{ds}}=-\kappa p\cdot p=-\kappa } 。同样，取 d p d s = a t + c b {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=at+cb} 与 b 的点积，我们得到 c = d p d s ⋅ p {\displaystyle c={\frac {dp}{ds}}\cdot p} 。对 p ⋅ b = 0 {\displaystyle p\cdot b=0} 进行求导，我们得到 d p d s ⋅ b = − p ⋅ d b d s = τ {\displaystyle {\frac {dp}{ds}}\cdot b=-p\cdot {\frac {db}{ds}}=\tau } 。因此，我们得到 d p d t {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}} 的如下表达式
d p d t = − κ t + τ b {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\kappa t+\tau b} .
此公式与前两个公式一起称为 Frenet-Serret 公式，它们可以用一个斜对称矩阵表示。
