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微分几何/密切平面

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术语密切平面,最早由 Tinseau 在 1780 年使用,是指由函数 f(t) 参数化的曲线 C 在点 f(a) 处的平面,当 x 和 y 都趋近于 a 时,该平面由两个向量 f(x)-f(a) 和 f(y)-f(a) 张成。

首先,假设曲线 C 至少是 2 类的。

然后考虑点 ,和 ,并考虑点 ,和 。线段 是向量 。如果这些向量线性无关,则它们张成一个平面。

我们可以将这些向量中的每一个除以 ,这意味着该平面也由向量 张成。

我们还可以用 替换第二个向量,很容易看出 和 w 与原始向量张成相同的平面。

使用泰勒公式,我们得到

.

这表明 以及

因此,当 都趋近于 0 时, 趋近于 f'(x),而 趋近于 f(x)。因此,密切平面由 f'(x) 和 f(x) 张成,并且包含切线。

考虑密切平面上任意一点的位置向量

那么,以下标量三重积显然等于 0

.

密切平面与法平面的交线称为主法线。

如果恰好 f'(x) 和 f(x) 线性相关,那么我们可以认为包含切线的每个平面都是密切平面。

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