微分几何/扭转

考虑一条至少为 3 阶的光滑曲线，且曲率不为零。

我们现在将考虑密切平面的变化率。当然，当曲线为平面曲线时，密切平面与曲线的平面相同，所以它不会改变，因此，副法向量也不会改变。换句话说，副法向量的导数，${\frac {db}{ds}}$，为 0。

因此，让我们考虑副法向量的导数。

考虑两个方程 $b\cdot b=1$ 和 $b\cdot t=0$，并对它们关于弧长参数进行微分，得到 $b\cdot {\frac {db}{ds}}=0$ 和 ${\frac {db}{ds}}\cdot t+b\cdot {\frac {dt}{ds}}$，因此 ${\frac {db}{ds}}\cdot t=-b\cdot {\frac {dt}{ds}}=-\kappa b\cdot p=0$，表明 ${\frac {db}{ds}}$ 同时垂直于 **b** 和 **p**，因此位于主法线上。因此，我们将扭转定义为 $\tau (s)$，即它们之间的比例

${\frac {db}{ds}}(s)=-\tau (s)p(s)$

负号的存在是为了使扭转对于右手螺旋为正值。

我们可以对等式两边取点积，得到 $\tau (s)=-p(s)\cdot {\frac {db}{ds}}(s)$

它的倒数，${\frac {1}{\tau }}$，称为**扭转半径**。

练习

1. 证明一条曲线是平面曲线当且仅当它的扭转在每一点处都是零向量。