数字信号处理/离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换 (DTFT) 是所有 DSP 的基石，因为它告诉我们，从连续函数的离散样本集，我们可以创建该函数的周期性求和 傅里叶变换。至少，我们可以重建实际变换及其逆变换（原始连续函数）的近似值。在某些理想条件下，我们可以完全不失真地重建原始函数。这个著名的定理被称为奈奎斯特-香农采样定理.

DTFT

[DTFT]

$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$

得到的函数，$X(e^{j\omega })$ 是一个连续函数，对于分析很有趣。它可以在诸如 Matlab 之类的程序中使用，来设计滤波器并获得相应的时域滤波器值。

DTFT 卷积定理

与 CTFT 一样，DTFT 也与卷积定理相关。然而，由于 DTFT 产生离散频率值，因此卷积定理需要进行如下修改。

DTFT 卷积定理

连续时间域的乘法变成离散频率域的离散卷积。连续时间域的卷积变成离散频率域的乘法。

能量

有时计算特定集合中存在的能量量非常有用。这些计算基于这样的假设，即集合中的不同值是电压值，但并不一定需要如此才能使用这些运算。

我们可以证明，给定集合的能量可以用以下公式给出

${\mathcal {E}}_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|^{2}$

频域能量

同样，我们可以建立一个公式来表示 DTFT 的连续频率输出的功率。

${\mathcal {E}}_{x}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left|X(e^{j\omega })\right|^{2}d\omega$

帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理指出，时域中找到的能量量必须等于频域中找到的能量量。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left|X(e^{j\omega })\right|^{2}d\omega$

功率谱密度

我们可以将 DTFT 的连续时间频率输出的功率谱密度定义如下

$S_{xx}(e^{j\omega })=\left|X(e^{j\omega })\right|^{2}$

功率谱密度曲线下的面积是信号的总能量。