分布理论/Bump 函数

初步定义

定义:

设 $\varphi :U\to \mathbb {R}$ 是一个函数，其中 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{d}$ 的一个开子集。我们说

$\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(U)$ 当且仅当 $\varphi$ 的所有偏导数，直到 $k$ 阶，都存在且连续
$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$ 当且仅当 $\varphi$ 的所有偏导数，无论何阶，都存在且连续。

定义:

设 $(X,\tau )$ 是一个拓扑空间，设 $f:X\to \mathbb {R}$ 是一个函数。那么 $f$ 的支撑集定义为集合

\operatorname {supp} f:={\overline {\left\{x\in X|f(x)\neq 0\right\}}}

;

右边的集合上方的横线表示拓扑闭包。

定义:

Bump 函数是从开集 $U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数 $\varphi$ ，满足以下两个条件

$\operatorname {supp} \varphi$ 是紧致的
$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$

多重指标记号

多重指标记号是一种在多维空间中有效表示多种事物的记号。例如，用传统方式表示偏导数需要相当长的时间。在传统记号中，偏导数用以下方式表示：

\partial _{1}^{k_{1}}\cdots \partial _{d}^{k_{d}}f

对于某些 $k_{1},\ldots ,k_{d}\in \mathbb {N}$ 。现在，在多重指标记号中， $k_{1},\ldots ,k_{d}$ 被组合成一个向量 $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{d})$ ，并且用以下术语代替上面使用的偏导数记号：

\partial _{\alpha }f

现在，对于一个偏导数来说，这可能不是一个巨大的优势（除非讨论的是一个通用的偏导数），但例如当对一个多项式 $p$ 进行所有偏导数的求和时，例如，我们会得到以下表达式：

\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}\partial _{\alpha }p

（请注意，这定义良好，因为求和是有限的。）

现在，将此与更长的表达式进行比较：

\sum _{k_{1}=1}^{\infty }\cdots \sum _{k_{n}=1}^{\infty }\partial _{1}^{k_{1}}\cdots \partial _{d}^{k_{d}}p

;

正如您所看到的，我们节省了大量时间，这就是多重指标记号的意义所在。多重指标记号是由洛朗·施瓦茨发明的。

其他多重指标约定如下（我们使用贝拉·博洛巴斯的约定，并用 $[d]:=\{1,\ldots ,d\}$ 表示）：

多重指标偏序关系： $(k_{1},\ldots ,k_{d})\leq (m_{1},\ldots ,m_{d}):\Leftrightarrow \forall j\in [d]:k_{j}\leq m_{j}$
多重指标阶乘： $(k_{1},\ldots ,k_{d})!:=k_{1}!\cdots k_{d}!$
多重索引二项式系数：令 $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{d})$ 和 $\beta =(m_{1},\ldots ,m_{d})$ 是多重索引，则 ${\binom {\alpha }{\beta }}:={\binom {k_{1}}{m_{1}}}\cdots {\binom {k_{d}}{m_{d}}}$
多重索引幂：此外，令 $x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ ，则令 $x^{\alpha }:=x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{d}^{k_{d}}$
常数多重索引：如果 $n\in \mathbb {N}$ ，我们用粗体 $\mathbf {n}$ 表示常数多重索引 $(n,\ldots ,n)$ 。
多重索引可微性：我们写 $f\in {\mathcal {C}}^{\alpha }(U)$ 当且仅当偏导数 $\partial _{\beta }f$ 存在于所有 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 $\beta \leq \alpha$ 。

此外，多重索引 $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{d})$ 的 *绝对值* 定义为

|\alpha |:=\sum _{j=1}^{d}k_{d}

.

以下是一些关于多重索引的示例定理（我们经常需要它们）

定理（多重索引二项式公式）:

令 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是一个多重索引， $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ 。那么

(x+y)^{\alpha }=\sum _{\mathbf {0} \leq \beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}x^{\beta }y^{\alpha -\beta }

.

请注意，这个公式与一维情况下的公式完全相同，只是将一维变量替换为多维变量。这将是一个反复出现的现象。

证明:

我们通过归纳法证明定理，归纳对象为 $|\alpha |$ 。当 $|\alpha |=0$ 时，情况很清楚。现在假设定理已经在 $|\alpha |=n$ 处得到证明，并且让 $|\alpha |=n+1$ 。那么 $\alpha$ 至少有一个非零分量；假设 $\alpha$ 的第 $j$ 个分量为非零。则 $\alpha ':=\alpha -e_{j}$ （ $e_{j}$ 表示第 $j$ 个单位向量，即 $e_{j}=\left(0,\ldots ,0,\overbrace {1} ^{j{\text{-th place}}},0,\ldots ,0\right)$ ）是一个绝对值为 $n$ 的多维指标。根据归纳假设，