分布理论/支撑集和奇异支撑集

定义（在开集上为零）:

设$M$ 为一个光滑流形，设$U\subseteq M$ 为开集，并设$T\in {\mathcal {D}}'(U)$。设$V\subseteq U$ 为开子集。我们说$T$ **在**$V$**上为零**当且仅当对于所有$\varphi \in {\mathcal {D}}(V)$，我们有$T(\varphi )=0$。

命题（分布在开集并集上为零）:

设$U\subseteq M$（$M$ 为光滑流形），并设$T\in {\mathcal {D}}'(U)$。假设$T$ 在一系列开子集$V_{\alpha }\subseteq U$（$\alpha \in A$）上为零。则$T$ 也在

$V:=\bigcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }$.

证明：令$\varphi \in {\mathcal {D}}(V)$。则$K:=\operatorname {supp} \varphi$是$V$的一个紧子集。因此，提取一个有限子覆盖$K\cap V_{\alpha _{1}},\ldots ,K\cap V_{\alpha _{n}}$。然后在$K$上选择一个有限单位分解，这些函数从属于$V_{\alpha _{1}},\ldots ,V_{\alpha _{n}}$（利用$K\cap \bigcup _{i\neq j}(V\setminus V_{\alpha _{i}})$是$V_{\alpha _{j}}$的一个紧子集，并用足够小的支撑的软化函数与该指示函数进行卷积），并使用$T$的线性性。 $\Box$

定义（支撑）:

令$T\in {\mathcal {D}}'(U)$，其中$U$是光滑流形的一个开子集。$T$的支撑是集合

$U\setminus \bigcup V$,

其中并集取遍所有开集$V\subseteq U$，在这些开集上$T$为零。