电磁学与光

波动方程

在没有电荷和电流的情况下，麦克斯韦方程组是

$\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {curl} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

我们可以推导出 

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {curl} \mathbf {B} =-{\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}\operatorname {curl} \operatorname {curl} \mathbf {E}$

或者 $\operatorname {curl} \operatorname {curl} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E}$ （本节末尾给出了$\operatorname {curl}$、$\operatorname {grad}$、$\operatorname {div}$ 和 $\nabla ^{2}$ 的证明)

$\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

并且 ${\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}=c^{2}$

所以

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {E}$

其中 $\nabla ^{2}\mathbf {E} =({\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial z^{2}}})$

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {E}$ 是波动方程。它的解是速度为 $c$ 的光传播的波，或者这些波的叠加。

平面波

在空间中传播的波是一个函数 $f$ 的 4 个变量，x，y，z 和 t，3 个空间坐标和一个时间坐标。 $f(x,y,z,t)=f(\mathbf {r} ,t)$ 是点 $\mathbf {r} =(x,y,z)$ 的场。

要理解平面波，我们可以想象一个千层酥，它的每一层都可以相互滑动。然后，波可以在垂直于这些层的方向上传播。如果一个移动的层带着它相邻的两层，并且也被它们带着，那么千层酥一侧的运动可以传播到另一侧。这种传播运动就是平面波。

如果传播方向是 x 轴，那么这些层就是垂直平面，一个点的运动不依赖于它在层上的位置，只依赖于它的 x 横坐标。因此，平面波可以用一个函数 $f(x,t)$ 来表示，该函数只依赖于一个空间坐标 x 和时间 t。它是一个一维波，因为它只依赖于一个空间坐标。

此外，如果这些层总是沿着同一个垂直方向移动，那么它们的运动可以用一个数字来衡量，即它们在垂直方向上的运动。然后，平面波可以用一个函数 $f(x,t)$ 来表示，该函数的值是一个实数。如果运动更复杂，$\mathbf {f} (x,t)$ 将是一个向量。

设 $g$ 是一个实数的单变量实函数。 $g(x)$ 是一个实数，它只依赖于实数 $x$。

$g$ 可以表示平面中任何永远不返回的曲线，从左到右无限延伸。这样，对于每个 $x$，线上都有一个坐标为 $x$ 的唯一点。该点到水平轴的距离为 $g(x)$。

令 $f$ 为两个实数变量的实函数，定义为

$f(x,t)=g(x-ct)$

$f$ 代表一个平面波，以速度 $c$ 无失真地传播。 $c$ 的符号决定了传播方向。 千层酥被波的传播所变形，但 $g$ 形状的变形不会改变。 它在整个旅程中保持不变。 因此，这种波可以将信息从一个点传输到另一个点，无论距离多远。 $c$ 是信号传播速度。

电磁波是电场力 $\mathbf {E}$ 和磁场力 $\mathbf {B}$ 的波，以光速 $c$ 传播。

波 $f$ 是波动方程 ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}f$ 的解。

证明

由于 $f$ 不依赖于 y 或 z，

${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial z}}=0$

所以

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$

现在

${\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)=-c{\frac {\partial g}{\partial x}}(x-ct)$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}(x-ct)$

我们可以用相同的方式证明

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}(x-ct)$

所以 ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)$ 对所有 x 和所有 t 成立。

电磁波是机械波吗？

机械波是通过使质量运动来传播的波。

麦克斯韦认为电磁波类似于在物质介质中传播的机械波，他称之为以太，它应该充满整个宇宙，因为光无处不在，因为像声波这样的机械波不能在真空中传播。

当波是机械波时，它的物质载体不会传播。运动中的质量围绕平衡位置振荡。在均匀和各向同性的介质中，波传播的速度在所有方向上都是相同的。它是波相对于其物质载体的速度，当我们相对于该载体静止时，我们测量的速度。如果我们相对于物质载体运动，则波的速度在所有方向上并不相同。

如果光在以太中传播，我们必须观察到它对方向的依赖性，因为我们不能总是相对于以太静止。我们试图观察它，但从未成功。

相对论假设光速对所有观察者来说都是相同的，无论他们的运动如何。从经典的观点来看，这是荒谬的，因为相对运动中的观察者测量的速度总是不一样的。爱因斯坦证明，只要我们承认事件的同时性取决于观察者的运动，就不会有任何矛盾。根据爱因斯坦的说法，时间不是绝对的，因为事件的同时性不是绝对的，而是相对于观察者而言的。

如果光在以太中传播，那么对它速度的测量将取决于观察者相对于以太的运动。所以相对论规定以太不存在。光是一种没有物质载体的波。

电磁波是在真空中传播的电磁力波。它们不是机械波，因为它们可以在没有使质量运动的情况下传播。

单色波

一个波 $A$ 是单色的，频率为 $f=2\pi \omega$ 当且仅当对所有 $\mathbf {r}$ 和所有 $t$，$A(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )\operatorname {sin} (\omega t+\phi (\mathbf {r} ))$

$\omega$ 是角频率，或称为脉动。

单色声波是纯净的声音。它的频率越高，音调就越高。

单色光波是一种纯色，即彩虹中的颜色，但非常明亮，就好像我们在夜空中看到了彩虹。低频光为红色。如果我们提高频率，我们会到达紫色，这是最高的频率，依次经过橙色、黄色、绿色和蓝色。在紫色之外，我们发现紫外线、X 射线和 $\gamma$ 射线。在红色之下，我们发现红外线、微波和无线电波，它们的频率可以低至我们想要的任何程度。

白光是由多种单色光叠加而成的。彩虹和棱镜将白光的成分分开，从而揭示了它的光谱，即它的单色光成分。

一个脉动为 $\omega$，以速度 $c$ 传播的单色平面波可以用函数 $A$ 表示，其中

$A(x,t)=A\operatorname {sin} (\omega t-kx)$

其中 $A$ 为常数，$k=2\pi /\lambda$，$\lambda$ 是波长。

对 $c$，$\lambda$，$f$，$\omega$ 和 $k$ 的定义导致

$c=\lambda f=\omega /k$

波的叠加

如果 $A$ 和 $B$ 是波动方程 ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}f$ 的两个波动解，那么 $A+B$ 也是波动方程的波动解。

证明：和的导数是导数的和，所以 ${\frac {\partial ^{2}(A+B)}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2}}}$ 并且 $\nabla ^{2}(A+B)=\nabla ^{2}A+\nabla ^{2}B$.

光子是光粒子。电磁波代表它们的运动。光子不会碰撞。一个被照亮的物体可以发射光，而不会受到照亮它的光线的阻碍，因为一个方向的光线不会受到另一个方向的光线的阻碍。光子可以相互穿过，而不必相互认识，就好像每个光子都可以穿过另一个光子一样。波的叠加解释了这种光子的相互漠不关心。两个沿相反方向传播的波在相遇点叠加，这种叠加不会影响它们的传播。

波的叠加是一个非常普遍的原理，它可以解释大多数现象，特别是白光的分解，因为它是由单色波的叠加构成的。

驻波

一个波 $A$ 是静止的当且仅当对于所有 $\mathbf {r}$ 和所有 $t$，$A(\mathbf {r} ,t)=f(t)A(\mathbf {r} ))$

这种波不会传播。由 $A(\mathbf {r} ))$ 定义的形状在原地振动，但不会移动。

绷紧在两端的一根弦的振动和鼓面的振动都是驻声波。封闭在空腔中的空气的振动，比如吉他内部的空气，也是驻声波。

设 $A$ 和 $B$ 是两个相同的单色平面波，只是它们沿相反方向传播。

$A(x,t)=A\operatorname {sin} (\omega t-kx)$

$B(x,t)=A\operatorname {sin} (\omega t+kx)$

$A+B$ 是一个驻波。

证明：$\operatorname {sin} (a+b)+\operatorname {sin} (a-b)=2\operatorname {sin} a\operatorname {cos} b$。所以 $(A+B)(x,t)=2A\operatorname {sin} \omega t\operatorname {cos} kx$

如果光被困在两块平行镜面之间，这两块镜面都垂直于光传播方向，光就会在两块镜面上反射，因此同时以两个相反的方向传播。因此会产生驻波。困在激光器内两块镜面之间的光就是一个驻波。

光的反射

声波是压力波。所有物体，无论是固体、液体还是气体，都能振动。当它们振动时，就会导致相邻物体振动。这种振动就是声音。当声音通过空气传播到耳朵时，它会使耳膜振动，耳膜就像一个非常小的鼓面。这种振动会被神经元转化为电信号，并传播到大脑。

声音也是密度波，因为物体的压力取决于它们的密度。

声音也是速度波，因为在没有运动的情况下，物体的密度是恒定的。

回声是声音在悬崖或墙壁上反射，就像光线被镜子反射一样。

软的墙壁不会反射声音。墙壁越硬，它反射声音的能力就越强。声音的回声就是它的反射，它在坚硬的墙壁上反弹。

非常硬的墙壁不会振动，或者几乎不会振动。它的速度场为零。与之接触的空气也是如此。

水面的波浪会反射，因为它必须保持水平，垂直于反射它的墙壁。因此它的斜率为零。

如果一面镜子是金属的，那么平行于其表面的电场为零，或者几乎为零，因为电荷是可移动的，它们在不断地移动以抵消使它们移动的电力。金属镜对光的行为就像硬的墙壁对声波一样，因为它抵消了平行于其表面的电场。

考虑一个平面波 $f$，它以不变形的形状向右（x 递增）传播，它在位于 $x=-a$ 的点发出，该点朝向位于 $x=0$ 的反射壁传播。 $f$ 由它在 $x=-a$ 处的运动决定，它可以是波的发射源。

$f(x,t)=g(x-ct)=f(-a,t-(a+x)/c)$ 因为 $-a-c(t-(a+x)/c)=x-ct$

我们寻找波动方程的一个解 $F$，使得对于所有的 t，$F(0,t)=0$，因为场必须在反射壁上抵消。

$F(x,t)=f(x,t)-f(-x,t)=g(x-ct)-g(-(x+ct))$

根据 $F$ 的定义，对于所有 $t$，$F(0,t)=0$。

$F$ 是两个相互对称的波的叠加。一个波是另一个波相对于反射壁的对称反射，且方向相反。这两个波，$g(x-ct)$ 和 $-g(-(x+ct))$，沿相反方向传播。波 $-g(-(x+ct))$ 可以由一个位于 $x=a$ 的点发出，该点的运动方向与初始发射器的运动方向相反。

$-g(-(a+ct))=-g(-a-ct)$

一切现象都表明，反射壁产生了一个由一个与发射初始波的物体完全对称的物体发出的波。这就是镜像效应。我们在镜子中看到的是，镜子前方的物体就好像出现在镜子后面一样。

因此，电磁学解释了为什么金属表面总是闪亮且具有反射性。

粗糙表面也会反射光，除非它们是黑色的且完全吸收光。但它们没有镜子的效果。

眼睛和图像的形成

为了形成图像，图像平面上每个点只需要接收来自物体上单个点的发出的光即可。照亮图像中一个点的光源越宽，图像越模糊。

如果让光穿过百叶窗上的一个小孔，我们可以在黑暗房间的白墙上看到一个图像。因此，我们可以看到阳光照射的对面立面在墙上或白布上形成一个倒置的投影。如果孔非常小，墙上的每个点都只接收来自立面上的单个点的光。如果孔很大，图像就会模糊。

两种透明材料之间的弯曲界面具有使通过它的光会聚或发散的特性。

图像在眼睛后面形成，呈倒立状态，因为来自物体上一个点的光会聚在眼睛后面的一个点上。

我们用麦克斯韦方程来解释光在透明材料中的传播。因此，图像的形成也是麦克斯韦方程的结果。

光的折射

光的折射解释了为什么一根棍子在水面上看起来断裂，以及为什么透镜可以使光波会聚或发散。

折射是由光在两种透明材料之间传播速度的差异造成的。光在透明材料中的传播速度总是比在真空中慢，真空中光速为 300,000 公里/秒。在空气中，这种减速非常小，但在水中，光速降至约 215,000 公里/秒，在钻石中，光速降至 125,000 公里/秒。

当光的传播方向垂直于两种材料之间的界面时，光的传播方向不会改变。

但光的传播方向偏转的程度与其初始传播方向偏离界面法线方向的程度成正比。

如果我们把头浸在水里，看着水池的边缘，看起来生物比实际距离更远。

反之，如果我们在空气中，看着水下的生物，看起来它们比实际距离更近。这就是为什么棍子看起来在水面处断裂的原因。

在这张照片中，我们可以看到刷子在水面上看起来断裂，而且看起来被玻璃的弯曲表面放大，就好像这个表面是一块放大镜一样。

光总是遵循费马原理：光线所走的路径在所有可能的路径中总是最短的。

一名救生员在海滩上。如果她需要救的人在她面前，她会选择最短的路径，也就是一条与海滩线垂直的直线。如果需要救援的人不在她面前，她就不能走直线，因为她在海滩上奔跑的速度比在水里游泳的速度快。因此，她必须选择一条折线作为她的路线，先在海滩上奔跑，几乎跑到需要救援的人的面前，然后才开始游泳。光在从空气进入水时也是这样做的。

智慧在于从众多可能性中选择最佳的，或者至少选择一个令人满意的。光总是选择最短的路径，因为它没有时间浪费。

光在水和其他透明材料中减速可以用麦克斯韦和洛伦兹方程来解释。当光穿过一种材料时，它的电荷开始移动，并本身成为发光源。入射波与感应波的叠加是导致结果波速降低以及光折射的原因。

干涉

叠加原理最令人惊奇的结果之一是光加光可以等于黑暗。

我们观察到的光的能量与$\mathbf {E} ^{2}$成正比，即它传播的电场标量的平方。如果两个光源产生相等且相反的电场，它们的叠加将产生零场，没有能量，因此没有光，也就是黑暗。

在杨氏双缝实验中，两个狭缝允许光通过。如果我们在接收光的屏幕上观察光，我们会看到明暗条纹交替出现，但黑暗部分像明亮部分一样被两个狭缝照亮。

• 
• 

杨在1803年认识到，相反方向的波会相互抵消，而当它们具有相同方向时，它们会叠加。

光的偏振

太阳镜有时会使用偏振镜片。

当光具有垂直于其传播方向的方向时，它就被线偏振。偏振器是一种滤光器，它会阻止一个方向上偏振的光通过，而允许垂直方向上偏振的光通过。

圆偏振是两个线偏振波的叠加。

当光被圆偏振时，它会在其传播方向周围旋转。对于量子物理学，光的偏振是光子的自旋。光子具有自旋意味着它们具有旋转惯性，就像旋转的陀螺一样。旋转惯性是使物体保持相同的轴和相同的旋转速度的原因。它使移动的自行车保持平衡。静止的自行车没有这种平衡，因为它们的轮子不转。

来自太阳或来自白炽发光材料的光是不偏振的。但是天空中的光是被偏振的。通过反射镜、水或玻璃反射获得的光也可以被偏振。

要查看光是否被偏振，只需通过一个偏振玻璃观察它，该玻璃围绕垂直于其表面的轴旋转。

这两张照片是用偏振滤光器拍摄的，该滤光器在左右图像之间旋转了 90°。

当我们对材料施加应力时，它通常表现得像偏振器一样。这种偏振效应揭示了应力。

如果我们将晶体放在两个交叉的偏振器之间，然后旋转它们，我们可以获得非常美丽的效果，因为双折射晶体表现得像偏振器一样。

麦克斯韦方程表明，线偏振光的偏振方向是电场$\mathbf {E}$的方向。

$\mathbf {E}$和$\mathbf {B}$始终垂直于电磁波的传播方向。

平面波的证明：关于 y 和 z 的偏导数为零，因为场既不依赖于 y 也不依赖于 z。根据麦克斯韦第四个方程，电场$\mathbf {E}$传播方向上的$E_{x}$分量使得${\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-c^{2}({\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}})=0$。由于$E_{x}$不能随时间变化，因此它不能传播波。因此，对于传播波，它为零。相同的论点适用于$B_{x}$，来自麦克斯韦第三个方程。

要有光

麦克斯韦和洛伦兹方程预测了光的产生和所有性质：光的传播、颜色、驻波、反射、成像原理、折射、干涉和偏振。 它们使得我们可以研究物质的大多数特性（除核起源的放射性和重力外）及其与光的相互作用。

电磁场具有自主存在。 一旦加速的电荷产生光，光就会自行传播，产生它的电荷就无法再阻止它。

上帝在赋予麦克斯韦方程（或库仑定律和时空的相对论几何）的同时，也赋予了光存在的规律，使我们能够看到光，并借此看到世界。 上帝说：“要有光”，从而赋予了电磁定律，即麦克斯韦和洛伦兹方程。

Nabla 算子

标量场的梯度、矢量场的散度和旋度是物理学家在大多数计算中使用的三个基本算子，特别是在电动力学和流体力学中。 所有三个都可以用 nabla $\nabla$ 算子表示

$\nabla =({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})$

$\operatorname {grad} A=\nabla A=({\frac {\partial A}{\partial x}},{\frac {\partial A}{\partial y}},{\frac {\partial A}{\partial z}})$

$\operatorname {div} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

$\operatorname {curl} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} =({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})$

$\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\operatorname {curl} \operatorname {curl} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A}$ 因此可以写成

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$

证明 ∇×(∇×**A**)=∇(∇·**A**)-∇²**A**

(∇×(∇×**A**))_x=∂/∂y(∂A_y/∂x-∂A_x/∂y)-∂/∂z(∂A_x/∂z-∂A_z/∂x)

=∂/∂x(∂A_y/∂y+∂A_z/∂z)-(∂²/∂y²+∂²/∂z²)A_x

=∂/∂x(∂A_x/∂x+∂A_y/∂y+∂A_z/∂z)-(∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²)A_x

其他两个分量的计算方法类似。