电和磁/磁学

磁体

与电力一样，磁力也服从异性相吸的原理。磁体总是具有两个磁极，一个北极自然地吸引地球的南磁极，一个南极自然地吸引地球的北磁极。在指南针中，磁针的北极指向地球的地理北极。因此，地理南北极在与磁南北极的关系中是相反的。

当磁体相互吸引时，它们以一种特殊的方式进行。一个磁体的北极粘在另一个磁体的南极，就好像磁性选择了69的色情一样。

与电力不同，从未发现过孤立的磁荷。显然，自然界不欢迎磁单极子。磁体总是偶极子。如果我们在两个磁极之间的中间切开一块磁铁，我们不会得到两个单极子，而是得到两个新的偶极子，两个新的磁铁，每个磁铁都有两个磁极。

解释是假设磁性材料是由所有排列在同一方向的微观磁体组成的。

静磁学是研究静止磁体之间磁力的学科。磁力的计算类似于电力的计算，除了我们用偶极子进行推理，而从不用单极子进行推理。

类似于电场 $\mathbf {E}$ 用于电荷，磁场 $\mathbf {B}$ 就像一个数学中介，它被用来计算磁化材料之间的力。它也被用来计算磁体对运动电荷的力、运动电荷对磁体的力以及运动电荷之间的力。但它也远远超过一个数学中介，因为它具有自主的存在。

磁力是由电流产生的

磁体自然地垂直于电流方向排列。其方向取决于电流的方向。因此，电流是磁力的来源。这是汉斯·克里斯蒂安·奥斯特在 1820 年的发现。

如果我们切断电流，这种磁力就会消失。

安培得出结论，电流可以像磁体一样工作。这一结论使他发现了安培定律（1825 年）。

两根平行导线，如果电流方向相同，则相互吸引；如果电流方向相反，则相互排斥。

两根通电导线之间的力是磁力。它不可能是电力，因为两根导线都是电中性的。

电流的测量单位安培是从两根通电导线之间的磁力定义的。

"安培是指在真空中，保持在两根无限长、圆形截面可忽略不计的直平行导体中，相距一米的距离，所产生的力为每米长度 2×10⁻⁷ 牛顿的恒定电流。"（国际计量局，1948 年）。

由于 1 A = 1 C/s，所以安培的定义也定义了库仑。

当安培发现他的定律时，电子还没有被发现，所以安培不能被定义为电子流。现在已经发现了电子，并且其电荷 -q = -1.602 176 487 ×10⁻¹⁹ C 已被精确测量，我们可以通过形成 1 C 所需的电子数来定义安培：1 安培 = 6.241509074×10¹⁸ 电子每秒，大约每秒六百万亿个电子。

电流回路就像磁体一样。如果电流方向相同，两个平行回路相互吸引；如果电流方向相反，则相互排斥。因此，电流回路是磁偶极子。

电流回路产生的磁场类似于电偶极子产生的电场。

安培假设磁体的磁力是由微观电流回路产生的。我们现在知道它主要来自电子的自旋。电子是磁偶极子，因为它们的行为就像旋转的陀螺一样。电子的旋转不是电流，但其效果类似于微观电流回路。

与电场一样，多个来源产生的磁场是每个来源单独产生的磁场的总和。对于两根平行导线，如果电流方向相反，我们通过向量和得到总场。

地球的磁场是由其不断运动的液态铁核在地球中心产生的。

电动力学中的库仑定律

为了计算运动电荷之间的力，我们需要广义的库仑定律。

如果一个电荷在一个惯性参考系中永远静止，那么它对运动电荷的作用力与静止时对该电荷的作用力相同，无论该电荷是否静止在同一位置。

如果一个电荷在一个惯性参考系中永远静止，那么它作为来源的电场有时间传播到整个空间并建立起来。

如果一个电荷被加速，那么不存在一个惯性参考系，在这个参考系中它永远静止。它在某个时刻在其静止系中作为来源的库仑场需要时间传播。在稍后的时间，它是在另一个静止系中另一个库仑场的来源。这就是加速电荷是传播到整个空间的电磁波的来源的原因。光是由加速的电荷产生的。

静止电荷不是光的来源，因为在它周围建立的电场中不会传播波。

广义的库仑定律可以计算任何相对于彼此作匀速直线运动的电荷系统的电场力场。为了计算所有电荷的作用力，我们计算每个电荷单独作用力的总和。为了计算一个电荷的作用力，我们考虑它静止的参考系，并计算库仑力。然后，洛伦兹变换就可以计算出这个力在任何参考系中的大小。

（动画：匀速直线运动的电荷产生的库仑场）

电流的磁力是菲茨杰拉德收缩和库仑力的结果

菲茨杰拉德收缩是指所有固体在运动方向上的收缩。只有当物体的速度 $v$ 接近光速 $c$ 时，收缩才会明显。收缩因子是 ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$.

当带电体收缩时，其电荷密度会增加。这种效应是电流磁力的起源。正负电荷的相对运动会导致电荷密度差异，从而产生静电力。这些静电力在一个参考系中是磁力，在另一个参考系中则是静电力。

我们可以用两根相互滑动、带相反电荷的绝缘线来模拟一条载有电流的导线。设$\lambda$是假设静止的正线的电荷密度，$\lambda _{-}$是负线的电荷密度，其以速度$v$运动。电流$I=\lambda _{-}v$。

负线代表传导电子，正线代表金属线的其余部分。在金属线静止的参考系R中，它在电气上是中性的。因此在这个参考系中$\lambda _{-}=-\lambda$。

设R'是相对于R以速度$v$运动的参考系，$\lambda '_{-}$和$\lambda '_{+}$是在R'中测量的负电荷和正电荷的密度。因此，负线在R'中静止。

$\lambda '_{+}=\gamma \lambda _{+}$，因为从R'的角度来看，正线在运动方向上收缩。 $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$是长度收缩系数的倒数。

$\lambda _{-}=\gamma \lambda '_{-}$，因为从R的角度来看，负线在运动方向上收缩。

所以$\lambda '_{-}\neq -\lambda '_{+}$。

从R'的角度来看，正线和负线的叠加并不是电气中性的，因此它是静电场的来源。

考虑一个在R中以速度$v$运动，距离导线$a$的电荷$q$。正线对电荷$q$的作用力F₊垂直于导线

在R中测量，

$F_{+}={\frac {\lambda _{+}q}{2\pi a\epsilon _{0}}}$

该结果由麦克斯韦方程组章节中的高斯定理证明。

电荷 $q$ 在 R' 中静止。负电线对电荷 $q$ 所施加的静电力 $F'_{-}$ 垂直于电线。

$F'_{-}={\frac {\lambda '_{-}q}{2\pi a\epsilon _{0}}}=-{\frac {\lambda _{-}q}{2\pi a\epsilon _{0}\gamma }}$

在 R 中测量的负电线对电荷 $q$ 的力 $F_{-}$ 等于 $F'_{-}/\gamma$。因此，电荷 $q$ 受到一个力

$F_{+}+F_{-}={\frac {\lambda _{+}q(1-1/\gamma ^{2})}{2\pi a\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda _{+}qv^{2}}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}=-{\frac {Iqv}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}$

如果我们设置 $B=-{\frac {I}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}$，我们得到

$F_{L}=F_{+}+F_{-}=qvB$

$B$ 是由无限长导线中的电流 $I$ 产生的磁场 $\mathbf {B}$ 的强度。洛伦兹力 $F_{L}=qvB$ 是磁场 $\mathbf {B}$ 对以速度 $v$ 运动的电荷 $q$ 所施加的磁力，如果其速度垂直于磁场。

因此我们发现，磁场只对运动的电荷起作用。

在参考系 R 中，不存在静电力，因为载流导线是电中性的。但在参考系 R' 中，负电荷密度低于正电荷密度，这是因为发生了菲茨杰拉德收缩。电荷密度不为零，是静电力场场的源泉。R' 中的静电力就是 R 中的磁力。

因此，菲茨杰拉德收缩和库仑力足以解释由电流产生的磁力的存在。

载流导线会排斥以电流常规方向（正电荷电流）运动的负电荷，并吸引以相反方向运动的负电荷。因此我们发现了安培定律：两根平行载流导线，如果电流方向相同，则相互吸引；如果电流方向相反，则相互排斥。

参考：费曼物理学讲义，电磁学，第 13-6 章。

向量积

为了计算运动电荷产生的磁力和对运动电荷施加的磁力，必须知道三维空间中两个向量的叉积。

两个向量 u 和 v 的向量积 w = u×v 是一个向量，

• 其长度为 uv sin$\theta$，其中 $\theta$ 是 u 和 v 之间的夹角，u 和 v 是 u 和 v 的长度，

• 其方向垂直于 u 和 v

• 使得三元组 u, v, w 是正向的。

右手的三元组（拇指、食指、中指）是正向的。左手的三元组是负向的。（右、前、上）是正向的。一般来说，坐标系的 x、y 和 z 轴被选为正向的。

两个方向相同的向量的叉积是零向量。两个垂直向量的叉积的长度是它们长度的乘积。

毕奥-萨伐尔定律

如果状态是稳态的（电流不发生变化），则导线段 $\mathbf {d\ell }$ 中电流 $I$ 在点 $\mathbf {r}$ 产生的磁场 $\mathbf {B}$ 是

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\mathbf {d\ell } \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

其中 $\mathbf {r}$ 是从线段 $\mathbf {d\ell }$ 指向所考虑点的向量，$r$ 是其长度，$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ 是 $\mathbf {r}$ 方向上的单位长度向量，$\mu _{0}$ 是一个常数，它取决于所选的测量单位。

根据毕奥-萨伐尔定律，我们可以计算电流产生的磁场。如果导线是直的且无限长，则磁场线是围绕导线的圆。

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毕奥-萨伐尔定律的数学形式类似于库仑定律。力与距离的平方成反比。这并非巧合。我们可以从库仑定律推导出毕奥-萨伐尔定律，因为电流的磁力起源于静电。

洛伦兹力

电场 $\mathbf {E}$ 和磁场 $\mathbf {B}$ 对带电量为 $q$ 的粒子施加一个力 $\mathbf {F} _{L}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$）。

$\mathbf {F} _{L}$ 是洛伦兹力。

用洛伦兹力，我们可以解释电流上的磁力。

电动机的原理:

如果一个电流环平行于一个均匀的磁场，则运动电荷上的洛伦兹力会产生一个使环转动的力矩。

洛伦兹力方程和麦克斯韦方程是电磁学的基本定律。麦克斯韦方程描述了电荷如何在整个空间中产生电场和磁场，以及这些场如何随时间变化。然后洛伦兹方程描述了这些场如何作用于电荷。

毕奥-萨伐尔定律使我们能够计算电流产生的磁场。然后洛伦兹力使我们能够计算通过电流的两个导线之间的力。磁场就像一个计算运动电荷之间力的数学中间体。但它不仅仅是一个简单的数学中间体，因为它具有自主的存在。

我们可以根据毕奥-萨伐尔定律和库仑定律计算电流产生的磁力。这两个结果的相等性表明

$\epsilon _{0}\mu _{0}=1/c^{2}$

$\epsilon _{0}$ 和 $\mu _{0}$ 是独立于光速 $c$ 进行测量的物理常数。当麦克斯韦发现电磁场的基本定律时，他发现 $c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$ 是电磁波的速度。由于 $c$ 也是光速，因此他得出结论：光是一种电磁波。

磁力的电动势

带电粒子在磁场中的受力始终与其速度垂直。因此，力的功总是零。粒子的动能没有改变，只有方向改变。那么磁力是如何产生电流的呢？它们是如何使最初静止的电荷运动起来的？

如果一个粒子在静止磁铁产生的场中运动，它会受到磁力的作用。但在粒子静止的参考系中，它不会受到任何磁力的作用，因为它的速度为零。它只能受到电力的作用。因此，运动的磁铁是电力的来源，因此可以产生电流。

如果我们在恒定磁场中放置一个导电回路，并使其绕着垂直于磁场的直径旋转，那么一旦回路的旋转给电子施加了不平行于磁场的运动，洛伦兹力就会使电子在导线方向上运动。这种电子在导线方向上的运动表现为电势的存在。因此，我们可以通过在恒定磁场中旋转导电回路来制造发电机

蓝色区域与磁场穿过回路的通量成正比。法拉第定律，在关于麦克斯韦方程组的章节中给出，指出回路两端的电压等于磁场穿过回路的通量变化率的负值。

与电流产生的磁力一样，磁力的电动势也具有静电起源。

为了理解它，我们只需要考虑一个由电流穿过方形电路。设 $\lambda$ 为传导电子的线密度。电流强度为 $\lambda v$，其中 $v$ 是电子在电路静止的参考系 R 中的平均速度。设 $q$ 为一个放置在电路中心的电荷，相对于 R 的速度为 $v$，方向与电流流过的一条边相同。设 R' 为一个参考系，使得电荷 $q$ 处于静止状态。从 R' 的角度来看，电荷 $q$ 不会受到磁力的作用，因为它的速度为零，但它会受到静电力的作用。

从 R' 的角度来看，与它的运动平行的两条边在运动方向上收缩，但垂直于运动的两条边没有收缩。在平均速度为零的一侧，传导电子的线密度等于 $\lambda /\gamma$，其中 $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 是长度收缩系数的倒数。另一侧的传导电子线密度为 $\lambda \gamma$。它不同，因为传导电子相对于 R' 具有非零的平均速度。

从 R' 的角度来看，电荷 $q$ 受到静电力作用，该力垂直于电路的运动方向，且与 $\lambda (\gamma -1/\gamma )$ 成正比。从 R 的角度来看，此力比 $\gamma$ 小 $\gamma$ 倍，因此与 $\lambda (1-1/\gamma ^{2})=\lambda v^{2}/c^{2}$ 成正比。它是运动的电荷在 R 中所受到的磁力。

在 R' 中，电路是一个可变磁场源，对电荷 $q$ 施加电力。因此，磁场的变化会产生电动势。