电气与磁性/麦克斯韦方程组

矢量场的散度

为了理解麦克斯韦给出的电磁学基本方程，我们必须理解矢量场的散度和旋度。

为了理解它的散度，我们必须理解矢量场穿过表面的通量。

如果我们将矢量场视为流体的速度场，那么它穿过表面的通量就是流体穿过该表面的流量。显然，通量取决于表面的方向。

令 $dS$ 为一个足够小的表面元素，以便我们可以假设矢量场 $\mathbf {v}$ 几乎恒定。令 $\mathbf {\hat {n}}$ 为一个长度为 1 的向量，垂直于 $dS$。 那么，$\mathbf {v}$ 穿过 $dS$ 且朝向 $\mathbf {\hat {n}}$ 的方向的通量 $d\phi$ 为 $d\phi =\mathbf {\hat {n}} .\mathbf {v}$ $dS$

为了找到穿过表面的通量，我们将表面分成小的表面元素，并将所有通量加起来。当表面元素的大小趋于零时，该总和的极限是一个积分。它是穿过表面的通量 $\phi$。

$\phi =\int _{S}d\phi =\int _{S}\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {v}$ $dS$

为了计算通量 $\phi$，我们必须选择一个穿过表面的方向。如果矢量场与该方向相同，则通量为正；否则为负。

向量场 $\mathbf {v}$ 的散度 $\operatorname {div} \mathbf {v}$ 是在每一点上通过考虑围绕该点的越来越小的闭合曲面得到的，例如以该点为中心的球体或立方体。它是向量场穿过这些小的闭合曲面的通量的极限值，除以它们限定的体积，当该体积趋于零时。穿过的方向总是从内到外。

如果在某一点上的散度为正，则向量场在该点发散，就像流体的源头一样。如果散度为负，则它在该点收敛，就像流体的汇点一样。

由于不可压缩流体的体积是恒定的，因此其速度场的散度始终为零，因为既没有源也没有汇。

为了计算散度，我们使用以下公式

$\operatorname {div} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}$

对于一个场 $\mathbf {v}$，其三个分量为 $v_{x}$，$v_{y}$ 和 $v_{z}$.

证明：我们考虑一个边长为 $a$ 的小立方体，其各面平行于 xy、xz 和 yz 平面。在平行于 yz、因此垂直于 x 轴的面上，通量为 $a^{2}v_{x}$ 和 $a^{2}(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}})$。两者的差为 $a^{3}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}$。平行于 xz 和 xy 的面也是如此。因此，离开立方体的总通量为 $a^{3}({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}})$。此通量也等于 $a^{3}\operatorname {div} \mathbf {v}$。

向量场的散度是一个实数，正数或负数，定义在空间中的每个点。因此，它是由向量场导出的标量场。

高斯定理

向量场穿过闭合曲面的通量，从内部到外部，始终等于其散度在曲面内整个体积上的积分。

证明：如果两个立方体有一个面是共用的，那么它们共同形成的矩形瓦片的通量是两个立方体通量的总和，因为通过瓦片内部面的两个通量正好相互抵消。从一个立方体通过这个面出来的所有东西都进入另一个立方体。

由闭合曲面限定的体积总是可以被分成小的相邻体积，所以

$\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {v}$ $dV$

其中 $V$ 是由 $S$ 限定的体积。

利用高斯定理和库仑定律，我们得到了麦克斯韦方程组的第一个方程

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

其中 $\rho$ 是电荷密度。对于均匀带电体积 $V$ 的电荷 $q$，$\rho =q/V$ 是 $V$ 内部的电荷密度。

麦克斯韦方程第一式的证明：我们分析球形电荷产生的电场通过以该电荷为中心的球体的通量

电荷 $q$ 产生的电场通过以该电荷为中心的半径为 $r$ 的球体的通量为 $\phi =4\pi r^{2}E$，其中 $E={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$。所以 $\phi =q/\epsilon _{0}$。或者 $q=\int _{V}\rho$ $dV$，其中 $\rho$ 是电荷密度，$V$ 是以 $q$ 为中心的球体的体积。所以 $\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E}$ $dV=\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}dV$。由于该方程对于包围电荷密度 $\rho$ 的任何体积都成立：$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

麦克斯韦方程第二式为

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

它表明磁荷密度始终为零，因此磁单极子不存在。

磁场通过以环路为边界的表面的通量仅取决于该环路。

证明：设 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 是由相同回路界定的两个曲面。这两个曲面界定了体积。磁场从该体积中流出的通量是通过 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的通量之差。但由于磁场的散度始终为零，根据高斯定理，该差值为零。因此，这两个通量相等。

磁场始终可以与不可压缩流体的速度场相对应。进入体积的通量始终等于离开体积的通量。对于包含无电荷的体积中的电场通量来说，情况也是如此。

高斯定理可以用来计算无限带电平面或无限带电直线产生的电场。

无限带电平面

设 $\sigma$ 是平面的面电荷密度。如果平面具有有限的表面积，那么它产生的电场取决于到其边缘的距离。但是对于非常大的表面积，只要我们远离边缘，这种边缘效应是可以忽略不计的。因此，在垂直于一个大的带电圆盘的中心的轴线上产生的电场等于具有相同单位面积电荷的无限平面的产生的电场。带电圆盘是旋转对称的。居里定律指出效应具有与其原因相同的对称性，因此要求它产生的电场也是旋转对称的。因此，在圆盘的轴线上，它必然沿该轴方向。因此，无限带电平面产生的电场处处垂直于该平面。

考虑一个圆柱体，其表面 $S$ 平行于带电平面，使得该平面穿过两个表面之间的中点。电场穿过圆柱体侧壁的通量为零，因为它始终平行于侧壁。因此，通量是两个侧面通量的总和。

$\phi =2SE$

其中 $E$ 是每个表面上电场的大小。

圆柱体中包含的电荷 $q$ 是

$q=\sigma S$

高斯定理使我们得出结论

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

$E$ 不依赖于到带电平面的距离。

无限带电平面产生的电场的大小 $E$ 在空间的任何地方都相同。电场垂直于平面，如果其电荷为负，则指向它，如果其电荷为正，则指向相反方向。

导体表面的表面电荷

在表面的某一侧，电场为零。在另一侧，它垂直于表面。高斯定理应用于穿过表面的一个小圆柱体，其平行于表面的表面积为 $dS$，得到 $EdS={\frac {\sigma dS}{\epsilon _{0}}}$，因此

$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

无限带电直线

如果带电导线的长度是有限的，它产生的电场取决于到其端点的距离。 但是对于非常长的导线，只要我们远离端点，这种边缘效应就可以忽略不计。 因此，在垂直于长带电有限导线中点的平面中产生的电场等于由具有相同单位长度电荷的无限长导线产生的电场。 因此，在垂直于长带电有限导线中点的平面中产生的电场等于由具有相同单位长度电荷的无限长导线产生的电场。

穿过其中心的有限长度均匀带电导线所垂直的平面中产生的电场必须垂直于导线，这是由对称性决定的。 如果该电场偏离该中平面，则居里定律将被违反。 该定律还表明，由均匀带电导线产生的电场必须位于与其轴平行的平面中。 因此它必须指向导线，或反方向。 由于导线绕其轴旋转时具有对称性，因此居里定律还表明，场的强度只能取决于到导线的距离。

考虑一个半径为$r$，长度为$L$的圆柱体，其中心位于均匀带电的无限长导线上。 圆柱体内的电荷等于$q=\lambda L$，其中$\lambda$是导线的线性电荷密度。 在圆柱体的两端，电场通量为零，因为电场平行于它们。 电场$\mathbf {E}$的通量$\phi$因此等于圆柱体的表面（不包括其端点）乘以场$E$，它始终垂直于该表面

$\phi =2\pi rLE$

其中$r$是圆柱体的半径，$L$是其长度，$E$是均匀带电导线在距离$r$处产生的电场$\mathbf {E}$的强度。

所以$q/\epsilon _{0}=2\pi rLE$

$E={\frac {q}{2\pi rL\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda }{2\pi r\epsilon _{0}}}$

矢量场的旋度

要了解它的旋度，我们必须了解矢量场沿回路的环流。

对于均匀向量场 $\mathbf {v}$，该场沿直线 $\mathbf {dx}$ 的环量等于 $dc=\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$。

如果向量场不均匀，或者路径 $C$ 不是直线，我们考虑一条折线，它遵循相同的路径，并且其线段可以尽可能小。我们通过假设该场在每个线段上是均匀的来计算该场的环量，并且我们在线段长度趋于零时取每个线段上该场环量的总和的极限。这个极限是一个积分，它是场 $\mathbf {v}$ 在路径 $C$ 上的环量。

$c=\int _{C}dc=\int _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$.

电场力对单位电荷沿路径所做的功，是电场沿该路径的流量。

如果力场来自势能，那么它在回路上的环量总是为零，因为势能的起始点等于势能的结束点，而结束点与起始点相同。

为了测量回路上的环量，必须在回路中选择一个环量方向。一个方向的环量与相反方向的环量相反。

向量场的旋度是从其环量得到的，就像它的散度是从其通量得到的，但三维空间中向量场的旋度是向量场，而它的散度是标量场。

要理解向量场的旋度，最好从二维空间，即表面开始理解，因为那时它是一个标量场，而标量场比向量场更简单。

二维向量场 $\mathbf {v}$ 在点 $\mathbf {r}$ 处的旋度是 ${\frac {c}{dS}}$ 当 $dS$ 趋于零时的极限，其中 $c$ 是 $\mathbf {v}$ 在一个表面为 $dS$ 且包围点 $\mathbf {r}$ 的回路上的环量。

为了计算旋度，我们使用公式

$\operatorname {curl} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$

对于一个具有两个分量的场 $\mathbf {v}$，其两个分量分别为 $v_{x}$ 和 $v_{y}$。

证明：我们考虑一个边长为 $a$ 的小正方形，其边平行于 x 轴和 y 轴。在平行于 y 轴的边上，因此垂直于 x 轴，环流为 $-av_{y}$ 和 $a(v_{y}+a{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}})$。两者的和为 $a^{2}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}$。在垂直于 y 轴的边上，环流为 $av_{x}$ 和 $-a(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$ 。两者的和为 $-a^{2}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$。因此，整个正方形的环流为 $a^{2}({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$。此环流也等于 $a^{2}\operatorname {curl} \mathbf {v}$。

当向量场是三维的，我们考虑它在三个相互垂直的平面上的投影。这三个二维向量场，每个都有一个旋度。因此，我们可以将三个数字与每个点相关联。这些是向量场的三个分量

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})}.$

三维向量场的旋度也是三维向量场。

三维向量场的旋度的散度始终为零。

证明：$\operatorname {div} \operatorname {curl} \mathbf {v} ={\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}=0$

因此，矢量场的旋度总是可以与不可压缩流体的速度场相对应。

矢量场旋度通过由一个回路包围的曲面的通量仅取决于该回路。

证明：设$S_{1}$ 和 $S_{2}$ 是由同一个回路限定的两个曲面。这两个曲面限定了一个体积。从该体积的通量是通过 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的通量的差。但由于旋度的散度总是为零，根据高斯定理，该差为零。因此，这两个通量相等。

势的梯度的旋度总是为零。

证明：设 A 和 B 是回路上的两个点。势 $V$ 的梯度在从 A 到 B 的任何路径上的通量等于 $V_{B}-V_{A}$。梯度在回路上的环量是从 A 到 B 的路径上的环量加上从 B 到 A 的路径上的环量。因此它总是等于零。由于旋转是从一个小回路上的环量定义的，因此它对于势的梯度也总是为零。

斯托克斯定理

矢量场在一个闭合回路上的环量是它的旋度通过该回路限定的曲面的通量。

证明 

• 设 C 是一个闭合回路，D、E、F 和 G 是 C 上的四个点，按顺序排列。我们可以通过在 E 和 G 之间添加一个连接来将回路 C 分成两个回路：DEG 和 EFG。矢量场沿回路 C 的环量等于 DE、EF、FG 和 GD 上的环量的总和。DEG 回路上的环量等于 DE、EG 和 GD 上的环量的总和。EFG 上的环量等于 EF、FG 和 GE 上的环量的总和。现在 EG 上的环量与 GE 上的环量相反，因此 C 上的环量等于 DEG 和 EFG 回路上的环量的总和。

• 我们总是可以将一个回路分成许多小的相邻回路。只要总是选择相同的环量方向，整个回路上的环量就等于所有将它分割的小回路上的环量的总和。

• 令 $dS$ 是一个由平行于 xy 平面的一个小回路 C 包围的曲面。向量场 $\mathbf {v}$ 的旋度通过 $dS$ 的通量等于 $dS({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$。因此，此通量等于 $\mathbf {v}$ 在回路上的环量。如果 $dS$ 平行于 yz 平面或 xz 平面，也会发生同样的情况。

• 三角形回路总是可以被分成三个平行于 xy、yz 和 xz 平面的回路。因此，$\mathbf {v}$ 的旋度通过三角形回路的通量总是等于 $\mathbf {v}$ 在回路上的环量。

• 回路总是可以被分成许多小的、近似于三角形的回路。如果这些回路足够小，它们与三角形回路的差异可以忽略不计。因此，$\mathbf {v}$ 的旋度通过任何回路的通量等于 $\mathbf {v}$ 在回路上的环量。

斯托克斯定理与旋度之间的关系类似于高斯定理与散度之间的关系。它们都是一个非常通用的定理的特殊情况，该定理也称为斯托克斯定理，可以使用微分几何方法在任何有限维空间中进行证明。

法拉第定律

电场力在单位电荷沿封闭回路做功等于磁场通过回路包围区域的通量变化率的负值。

电场力在单位电荷沿封闭回路做功为电动势。

封闭回路可以被认为是一个连接发电机和电阻器的电路。电阻是回路自身的电阻。发电机被假设为零电阻，并提供一个等于磁场通量变化率的电动势。这就是为什么即使电路包含可以被可变磁场穿过的回路，我们仍然可以在电路上定义电势的原因。每次出现电动势时，我们就认为发电机瞬间施加了一个等于此电动势的电势差。因此，我们可以定义整个电路上的虚拟电势。

法拉第定律导致了麦克斯韦第三方程

$\operatorname {curl} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

证明：将一个回路放置在电磁场$(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$中。根据斯托克斯定理，$\mathbf {E}$在这个回路上的环量等于$\operatorname {curl} \mathbf {E}$穿过回路的通量。根据法拉第定律，它也是$\mathbf {B}$通量变化率的相反数。$\mathbf {B}$通量变化率是${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$的通量。对于任意小的回路，$\operatorname {curl} \mathbf {E}$和$-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$的通量相等，这证明了$\operatorname {curl} \mathbf {E}$和$-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$必然相等。

麦克斯韦第四方程

麦克斯韦第四方程将$\operatorname {curl} \mathbf {B}$确定为两项的总和。其中一项可以通过毕奥-萨伐尔定律获得。

沿一条无限长且载有电流$I$的导线的磁力线是圆形的，并且以垂直于导线的平面为中心。通过毕奥-萨伐尔定律，我们可以计算出磁场$\mathbf {B}$的大小$B$

$B={\frac {I}{2\pi r\epsilon _{0}c^{2}}}$

其中$r$是到导线的距离。

因此，$\mathbf {B}$沿磁力线的环量为

$2\pi r\ B={\frac {I}{\epsilon _{0}c^{2}}}=\mu _{0}I$

根据斯托克斯定理，$\operatorname {curl} \mathbf {B}$ 穿过回路的通量始终等于 $\mathbf {B}$ 在该回路上的环量。如果 $\mathbf {J}$ 是电流密度，$I$ 是 $\mathbf {J}$ 穿过电流穿过的表面的通量。通过设置 $\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$，因此我们找到了无限长导线的毕奥-萨伐尔定律。

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ 不可能在任何地方都成立。

证明：设一个电路由一个电容器组成，电容器放电到一个电阻器。考虑一个包围电路导线的回路。$\mathbf {J}$ 穿过穿过导线的表面的通量等于电流 $I$。但 $\mathbf {J}$ 穿过电容器两极板之间表面的通量为零，因为两极板之间没有电流。现在，$\operatorname {curl} \mathbf {B}$ 穿过由回路界定的表面的通量只取决于回路。所以 $\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ 不可能总是成立。

另一方面，如果我们写

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}(\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} )$

我们纠正了这个错误。

证明：在电容器极板之间，$E=\sigma /\epsilon _{0}$，方向垂直于极板。因此，$\mathbf {E}$ 穿过极板之间表面的通量为$SE=S\sigma /\epsilon _{0}=Q/\epsilon _{0}$。因此，$\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 在电容器极板之间的通量等于$dQ/dt=I$，即电流强度。

麦克斯韦方程组

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {curl} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}(\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} )$

结合洛伦兹力方程，

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$)

麦克斯韦方程组是经典电磁理论的基本定律。这里的“经典”是指它不是量子理论。

麦克斯韦方程组解释了运动电荷是如何产生电磁场的，以及电磁场如何随时间变化。洛伦兹力方程解释了电磁场是如何对运动电荷施加力的。

光是一种电磁波。我们可以从麦克斯韦方程组推导出光的存在。

除了万有引力和核力之外，电磁力解释了所有自然现象。光、原子、分子、离子、固体、液体、气体、等离子体、液晶、电动机、无线电波、X射线……都由电磁力解释。因此，对于物理学家来说，麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程就像法律条文一样。

麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程可以从广义库仑定律和时空的相对论几何推导出来。因此，广义库仑定律是经典电磁学中最基本的定律。

时空几何假设光速$c$ 的存在，但它没有强加光的实际存在。假设存在以光速传播的粒子就足够了。因此，广义库仑定律和时空几何证明了光的存在，而没有预先假设它的存在。

物质中的麦克斯韦方程组

我们通常考虑点电荷。电荷密度$\rho$ 在电荷所在点是无限大的。我们假设电荷密度$\rho$ 是狄拉克δ函数，使得$\int _{V}\rho$ $dV=q$ 对于点电荷$q$ 成立，其中$V$ 是仅包含电荷的体积。

如果电荷是瞬时的，空间几乎处处为空，物质中的麦克斯韦方程与上述方程相同，其中电荷和电流密度是用狄拉克δ函数计算的。