电动力学/毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔 定律将磁场 B 与场中磁铁的距离和强度联系起来。在很多方面，它与库仑定律非常相似，无论是形式还是概念。

我们可以将毕奥-萨伐尔定律表述为

[毕奥-萨伐尔定律]

$d\mathbf {B} =K_{m}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

其中

$K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,$，其中 $\mu _{0}$ 是磁常数

$I\mathbf {}$ 是电流，以安培为单位

$d\mathbf {l}$ 是电流元素的微分长度向量

$\mathbf {\hat {r}}$ 是从电流元素到场点的单位位移向量，以及

$r\mathbf {}$ 是从电流元素到场点的距离

该公式仅适用于稳定电流，这意味着电荷不会在任何地方累积。这类似于库仑定律，库仑定律仅适用于静态电荷分布。当电流不稳定且电荷分布发生变化时，我们必须在毕奥-萨伐尔定律中添加修正项。然而，毕奥-萨伐尔定律具有非同寻常的稳健性，比库仑定律更为稳健。这是因为大多数误差（一阶误差）将相互抵消。因此，毕奥-萨伐尔定律可以应用于明显不稳定的情况；例如，以 60 赫兹交替的家庭电流。

形式

一般

在静磁近似中，如果已知电流密度 j，则可以确定磁场

$\mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dv}$

其中

$\mathbf {\hat {r}} ={\mathbf {r} \over r}$ 是 r 方向上的单位向量。

$dv$ = 是体积的微分单位。

恒定均匀电流

在恒定均匀电流 I 的特殊情况下，磁场 B 为

$\mathbf {B} =K_{m}I\int {\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

恒速运动的点电荷

在带电点粒子 $q\mathbf {}$ 以恒定速度 $\mathbf {v}$ 运动的特殊情况下，上述方程简化为近似形式的磁场

$\mathbf {B} =K_{m}{\frac {q\mathbf {v} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

然而，此公式是错误的。这是因为沿直线运动的点电荷不构成稳恒电流或恒定电荷分布，而这两者对于静磁学都是必不可少的。特别地，在这种情况下，存在变化的电场和感应磁场，必须将其添加到上述公式中进行修正。尽管该方程并不完全准确，但它是一个非常好的近似值（实际上是不合理的）。

微观尺度

在微观尺度上，毕奥-萨伐尔定律变为：

$\mathbf {H} =\epsilon \mathbf {v} \times \mathbf {E}$

因此，

$\mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E}$