电动力学/电能

简介

宇宙中的许多物体都是守恒的，例如宇宙的电荷始终保持不变。这被称为全局电荷守恒。但是，如果你取一个定义的区域，那么该区域中的电荷也将保持不变，除非某些电荷通过其边界离开。如果某些电荷通过边界移动，那么它必须等于体积中电荷的变化。就像你和你的朋友在一个房间里，你不能只是不在房间里，你必须从门出去。

这被称为局部电荷守恒。

电荷守恒

让我们看一下体积 V 内的总电荷

$Q_{enc}(t)=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV$

我们会说，V 内的电荷根据以下公式变化

${\frac {dQ_{enc}}{dt}}=\int _{V}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} )}{\partial t}}dV$

我们可以考虑通过闭合曲面的电流，V 的边界（$\partial V$），例如，它将是

$I=\int _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS$

现在我们可以引入公式$I={\frac {dQ}{dt}}$，并将其与封闭电荷联系起来。我们看到相应的公式是

$-{\frac {dQ_{enc}}{dt}}=\int _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS$

因为当封闭电荷减少时，电流密度（离开 V 的电荷）存在正通量。

我们看到

$-\int _{V}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} )}{\partial t}}dV=\int _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS$

然后，通过对右手边使用散度定理，我们得到了局部电荷守恒定律或连续性方程。

[局部电荷守恒定律]

${\frac {d\rho }{dt}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$

能量守恒

[能量守恒定律]

${\frac {\partial }{\partial t}}(u_{mechanical}+u_{electromagnetic})=-\nabla \cdot \mathbf {S}$

其中

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {E} \times \mathbf {b} )$