电动力学/电磁场张量

在讨论麦克斯韦方程之前，定义电磁场的两个张量是有用的。这两个张量将在本书的剩余部分中用于多种应用，包括麦克斯韦方程。

场张量

我们将定义两个场张量，F 和 G，并且我们将定义另一个张量，σ，我们可以用它来从另一个张量生成一个场张量。

$\mathbb {F} ={\begin{bmatrix}0&B_{z}&-B_{y}&-iE_{x}\\-B_{z}&0&B_{x}&-iE_{y}\\B_{y}&-B_{x}&0&-iE_{z}\\iE_{x}&iE_{y}&iE_{z}&0\end{bmatrix}}$

$\mathbb {G} ={\begin{bmatrix}0&E_{z}&-E_{y}&-iB_{x}\\-E_{z}&0&E_{x}&-iB_{y}\\E_{y}&-E_{x}&0&-iB_{z}\\iB_{x}&iB_{y}&iB_{z}&0\end{bmatrix}}$

完全反对称张量

我们可以定义一个完全反对称的四阶张量（四维，所以我们无法可视化它），如下所示

$\sigma _{\mu \nu \lambda \rho }=0$ 如果任何两个索引相同。

$\sigma _{1234}=1$

$\sigma _{\mu \nu \lambda \rho }=1$ 如果所有索引都不同，并且如果索引与 1234 的总差为偶数。

$\sigma _{\mu \nu \lambda \rho }=-1$ 如果所有索引都不同，并且如果索引与 1234 的总差为奇数。

我们可以用这个新张量来定义两个场张量，F 和 G，如下所示

$\mathbb {G} ={\frac {i}{2}}\sum \sigma _{\mu \nu \lambda \rho }\mathbb {F} _{\lambda \rho }$