电动力学/电磁辐射

麦克斯韦如何修正安培定律

当麦克斯韦观察安培定律时，他意识到变化的电场就像电流一样，但这不是安培定律的当前形式所包含的。因此，麦克斯韦添加了这个变化，安培定律的完整形式就变成了

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

这种认识是由于之前安培定律与电荷守恒/连续性方程不兼容的事实。对安培原始方程求散度，发现电流的散度等于零，这与电荷守恒不一致。通过引入位移电流解决了这个悖论。

使用新定律

当我们在真空中观察这个公式并将其与法拉第电磁感应定律结合起来时

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

然后我们求解这个公式，就可以看到它是一个以速度 c 传播的波。

草图证明

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$-\int (\nabla \times \mathbf {E} )dt=\mathbf {B}$

将此代入安培定律得到

$-\nabla \times \int (\nabla \times \mathbf {E} )dt=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

我们现在使用以下关系

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$

这给了我们

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

同样地

$\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}$

这应该很熟悉，它是关于位置的二阶导数，等于关于时间的负二阶导数。它是一个正弦函数（实际上是虚指数，但在这里用正弦函数是可以接受的）。它的速度是 $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$.

而这些数值的实验值与观察到的光速值非常接近。

这个速度非常接近光速，因此我们有充分理由得出结论：光本身（包括辐射热和其他任何辐射）是电磁场中根据电磁定律传播的电磁波。--麦克斯韦 1865

我们如何真正知道光是一种电磁波？

仅仅是速度正确以及光具有波的特性（干涉和衍射）是不够的——毕竟，引力波也会具有这些特性。也许最令人信服的证据证明光是一种电磁波是

• 光从导体和电介质的反射表现符合麦克斯韦方程式的预期
• 反射和散射产生的光的偏振符合麦克斯韦的预期
• 高强度激光会导致空气和其他（电介质）材料“击穿”。这看起来像是一道微小的火花，就像我们预期的那样，如果光是由电场和磁场组成的，那么电场会引起电介质击穿。
• 存在一个连续的辐射类型，从无线电波，我们知道它们是电磁的，因为我们制造了它（并用天线捕获它们），到光，再到微波、远红外、近红外、光（以及其他）。这些辐射类型表现出随着波长连续平滑变化的特性，没有跃迁。