电动力学/四矢量

电磁四势

本页将介绍四势和四电流符号，以及达朗贝尔算符，在狭义相对论理论框架下研究这些主题时使用。这些构造，虽然对某些人来说有点令人困惑，但它们是现代物理学家研究电场和磁场的根本方式，因此值得学习。这些主题可能在这里过早地介绍，尽管本章不会很严格。相反，我们将在这里提供一些常见的结果，并在接下来的几章中解释它们。

势，现状

电势 (V) 和磁矢势 (A) 由下式给出

$\mathbf {E} =-\nabla V$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

使用电场的高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

然后用 V 的梯度替换 E。我们看到

$\nabla \cdot \nabla V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

或

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

根据库仑定律，我们看到

$V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho }{\tau }}{d\tau }$

在静磁学中使用类似的技术得到

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J}$ 和

$\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} }{\tau }}d\tau$

四势与四电流

我们定义一个称为四势的向量，其形式为

$A^{\mu }=\left({\frac {V}{c}},\mathbf {A} \right)=(V,A_{x},A_{y},A_{z})$

还有一个称为四电流，它用 ρ（电荷密度）代替 V，用J（电流密度）代替A

$J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf {J} )=(\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})$

其中，在每种情况下，c 都是光速。

四势和四电流都是具有四个标量值的向量。每个值代表什么将在后面的内容中阐明。

综合

你可能已经注意到，A 与 J 和 V 与 ρ 的方程非常相似，并且四势和电流只包含这些。我们可以将这些合并成一个方程，如下所示

$\nabla ^{2}A^{\mu }=-\mu _{0}J^{\mu }$

以及

$A^{\mu }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {J^{\mu }}{\tau }}d\tau$

相对论

相对论的规则指出，电流现在不能立即产生远处的磁场。电流的影响以光速传播最快，场变化的速度也不可能比这更快。如果你以前从未接触过 狭义相对论，现在可能是个好时机。

达朗贝尔算符

我们显然需要一些项来弥补没有什么比光速更快的这一事实。到目前为止，我们的拉普拉斯算子看起来像这样

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

但现在我们需要把它引入闵可夫斯基空间（一种描述相对论空间的方式）。我们可以注意到拉普拉斯算子不能应用于四维向量，并且拉普拉斯算子在洛伦兹变换下不保持不变。为了纠正这一点，我们使用达朗贝尔算符。我们将达朗贝尔算符定义如下

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

如果我们不关心时间依赖性或相对论，达朗贝尔算符将简化为拉普拉斯算子（∇²）。在不同的文本中，表示达朗贝尔算符的方式有很多种。以下是一些在常用文本中使用的不同方法

$\Box =\Box ^{2}=\nabla _{\mathbf {M} }=\partial _{i}\partial ^{i}=\partial ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

注意

为了简便起见，本维基教科书将使用 $\Box$ 符号表示达朗贝尔算符。

最后，我们得到用达朗贝尔算符表示的方程，如下所示

$\Box A^{\mu }=-\mu _{0}J^{\mu }$

我们还必须在该方程的积分形式中引入时间项。它变为

$A^{\mu }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {J^{\mu }(r',t')}{|r-r'|}}d^{3}r'$