电动力学/高斯定律

通量

通量实际上是穿过表面的场量的多少。换句话说，它类似于水流；如果你在小溪里放一个筛子，水就会从筛子里流过。流过筛子的水量就是通量。

使用水流的类比，点电荷可以被视为源（例如水从哪里来的水管或水龙头），或排水沟。水从源头流出，在电场中流动，并流入排水沟。

如果我们画出电场线，使我们的排水沟的线连接到排水沟的线，并且如果我们确保没有线交叉，那么通量本质上由我们图纸中线的密度表示。如果我们使用常见的约定，即电荷从正电荷“流出”，并“流入”负电荷，我们可以更好地理解通量是什么。

表面

表面是一个抽象的数学工具，我们可以用它来探索各种现象。表面是什么，它是一个围绕空间区域的壳。考虑一个常见的充气球，例如足球或篮球。“球”本身只是一个围绕气囊的橡胶壳。

就像球一样，表面只是空间中的一个形状，它包围着一定体积。就像球一样，表面不能有任何缝隙（如果球有缝隙，空气就会逸出，球就会泄气）。

高斯定律

如果我们拥有的表面是封闭的，所以它没有缝隙，那么你可以想象在河流中，进入表面的水量必须等于离开表面的水量。只有当表面内部有水管时，才能从表面中流出更多水。只有当表面内部有排水沟时，才能更多地进入表面。

或者如果我们回到电场，只有当表面内有电荷时，表面的通量才不为零。

[电场的 Gauss 定律（零电荷）]

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=0$

如果没有电荷在表面内部，其中da是无限小的面积。

现在如果我们将电荷放在表面内部，你可以想象如果我们在里面有一个水龙头，我们会得到一个从表面流出的净通量。电场也是如此。

表面内的电荷

想象一个球体，中心有一个电荷。为了便于使用，我们将用球坐标表示球体

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=\int {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\cdot (r^{2}\sin \theta d\theta d\rho \mathbf {\hat {r}} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}q$

现在请注意，球体的半径对净通量没有影响，这意味着无论球体大小如何，答案都相同。这可以扩展到意味着它完全不依赖于S的形状。

因此

[电场的 Gauss 定律（非零电荷）]

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }={\frac {1}{\epsilon _{0}}}Q_{enclosed}$

其中Q_enclosed是位于表面内部的总电荷量。这是电场的 Gauss 定律。

示例：无限带电平板

想象一个无限均匀带电的金属板，其电荷密度为 σ。平板周围的电场是多少？在这种情况下，因为我们有一个电荷密度为 σ 的平板，但没有相反电荷的物体，所以我们假设在无穷远处有一个相反电荷的物体，以便我们的电场线被绘制到那里。

解 将一个高斯表面穿过金属板的表面，其侧面仅垂直和平行于表面。为了便于起见，我们说我们的高斯表面是一个立方体或一个矩形。设A是平行于板的立方体侧面的面积。为了找到板内的总电荷，我们可以将电荷密度 σ 乘以总面积。因此，封闭的电荷为 σ A。

因为板是无限的并且是对称的，所以E场唯一能去的方向是垂直于板的。如果E场线不垂直于板，它们最终会相互交叉。

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=|\mathbf {E} |\int _{S}{d\mathbf {a} }=2A|\mathbf {E} |$

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }={\frac {1}{\epsilon _{0}}}Q_{enclosed}$

因此

$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\mathbf {\hat {n}}$

其中 $\mathbf {\hat {n}}$ 是垂直于平板的单位向量。

用散度表示高斯定律

也许用电场散度来表示高斯定律会更实用

$\nabla \cdot \mathbf {E}$

这使用**散度定理**将我们的原始积分方程变为微分方程

$\oint {\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=\int (\nabla \cdot \mathbf {E} )dV$

现在如果我们将 Q 用电荷密度 ρ 来表示，那么我们有

$Q_{Enc}=\int \rho dV$

将其代入我们得到

$\int (\nabla \cdot \mathbf {E} )dV=\int \left({\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\right)dV$

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

请注意，高斯定律总是成立的，但并不总是实用的。你需要一定的对称性和一个合适的**高斯面**才能有效地使用它。