电动力学/拉普拉斯方程

理论上，库仑定律可以解决任何已知电荷分布的静电问题。然而，在许多情况下，我们并不知道电荷分布，例如当我们有导体时。在这些情况下，我们必须使用其他方法，例如求解拉普拉斯方程。

拉普拉斯方程

如果我们在空间中电荷密度不为零的区域内对电势函数使用拉普拉斯算子，我们将得到一个称为**泊松方程**的特殊方程。

[泊松方程]

$\nabla ^{2}\varphi ={\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=-{\frac {\rho }{\epsilon }}$

如果电荷密度恰好在整个区域内都为零，则泊松方程变为**拉普拉斯方程**。

[拉普拉斯方程]

$\nabla ^{2}\varphi ={\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0$

请注意，即使电荷密度为 0，也可能仍然存在电场。当然，场源于电荷，但电荷可能在我们感兴趣的区域之外。

这些方程是二阶偏微分方程。拉普拉斯方程的解给出了自由空间中电势的正确形式，满足所分析系统边界条件。根据电势 φ，可以使用梯度算子计算电场**E**。

当然，V 不是唯一的。对于任何电场，我们都必须设置一个任意位置（通常是无穷远）作为电势为 0 的位置。然而，事实证明，如果在区域的边界处设置 V 的值，则区域内部的 V 是唯一的。这似乎是显而易见的，但可以用来解决问题。

可以使用多种方法获得具有指定边界条件的泊松方程（以及拉普拉斯方程）的解

镜像法

假设在 z=0 处有一个无限大的导电平面。假设在 (0,0,a) 处有一个点电荷 q，其中 a>0。平面上的感应电荷是多少？电压分布是多少？

这似乎是一个很难用库仑定律或直接求解拉普拉斯方程来解决的问题。然而，我们知道 V 在无穷远处为 0。由于导电平面将是一个等势面，我们也知道整个平面 V=0（否则，电荷将流向和流出无穷远）。因此，我们知道边界条件。

让我们解决一个不同的问题：假设在 (0,0,a) 处有一个点电荷 q，在 (0,0,-a) 处有另一个点电荷 -q。V 是多少？我们知道$V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {-q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}+{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right]$请注意，此 V 在无穷远处为 0，并且在平面 z=0 处为 0。因此，由于指定边界条件后拉普拉斯方程解的唯一性，此 V 是原始问题的解！请注意唯一性定理的关键作用。如果没有它，如果我们声称这是第一个问题的解，没有人会相信我们。

通常，如果我们在无限导电平面上方有任何物体，要找到电压分布，我们可以使用镜像法。我们首先将物体绕平面反射，然后反转电荷。这将创建一个镜像（因此得名），它与原始电荷一起将在平面上和无穷远处产生 V=0，因此，由物体和导电平面建立的电势与由物体及其镜像建立的电势相同。

变量分离法

镜像法仅适用于某些分布。然而，变量分离法更为通用。前提是这样的：假设$V(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$。X(x) 与 y 和 z 无关，依此类推。当然，这并非一定正确。然后，拉普拉斯方程变为

$YZ{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+XZ{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+XY{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial z^{2}}}=0$

或

${\frac {1}{X}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial z^{2}}}=0$

现在，假设我们改变 x 而保持 y 不变。那么，表达式${\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial z^{2}}}$ 没有改变，因为该表达式不依赖于 x。因此，我们知道${\frac {1}{X}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}$ 必须是常数。这变成了一个普通微分方程，求解起来容易得多。事实上，如果常数为正，则它是一个指数函数；如果常数为负，则它是一个正弦函数。常数的符号必须由边界条件确定。由于拉普拉斯方程是线性的，所以所有解的叠加也将是一个解，因此通解将是一个无限和（通常是傅里叶级数），具有无限多个参数，这些参数需要根据边界条件确定。