电动力学/Lienard-Wiechert势

假设有一个点电荷 q，其位置始终由 $\mathbf {\gamma } (t)$ 给出。我们将使用上一节中推导出的公式来求解势和场。

延迟时间由 $t_{ret}=t-{\frac {||\mathbf {r} -\mathbf {\gamma } (t_{ret})||}{c}}$ 给出（因为当我们回溯时，粒子不再处于当前位置，而是在 $\gamma (t_{ret})$）。请注意，由于粒子以亚光速运动，最多只有一个先前的粒子实例会生成该点的场。因此，$\mathbf {\eta } =\mathbf {r} -\mathbf {\gamma } (t_{ret})$ 是一个唯一的向量。

因此，标量势为

$\phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {\eta } ||}}dV={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}||\mathbf {\eta } ||}}\int \rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})dV$

你可能会认为它等于

${\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}||\mathbf {\eta } ||}}$

但这是错误的！原因非常微妙：为了使积分等于总电荷，电荷分布必须在特定时间被取。然而，我们必须在不同时间对每个点进行评估！因此，带电粒子被“涂抹”了！即使我们正在考虑一个点粒子，公式仍然是错误的，因为修正因子不取决于几何尺寸！

假设粒子是一个长度为 a 的盒子，并且正在向我们移动。但是，我们将观察到该粒子具有长度 b，因为同时到达我们眼睛的盒子前后方的光来自不同的时间。在来自盒子后方的光传播额外的距离 b 的时间里，汽车移动了距离 $b-a$，所以

${\frac {b}{c}}={\frac {b-a}{v}}$，并且 $b={\frac {a}{1-v/c}}$；盒子被拉伸了 ${\frac {1}{1-v/c}}$ 倍，这与物体的尺寸无关。这不是长度收缩效应；这更类似于多普勒频移。

标势的正确公式为

$\phi =\left({\frac {1}{1-\mathbf {\hat {\eta }} \cdot \mathbf {w} '(t_{ret})/c}}\right){\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}||\mathbf {\eta } ||}}$

其中 $\mathbf {w} '(t_{ret})$ 是粒子在时间 $t_{ret}$ 的速度。

电流密度为 $\rho \mathbf {v}$，通过类似的论证，

$\mathbf {A} =\left({\frac {1}{1-\mathbf {\hat {\eta }} \cdot \mathbf {w} '(t_{ret})/c}}\right){\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi ||\mathbf {\eta } ||}}={\frac {\mathbf {v} }{c}}\phi$

这些是运动电荷的 Lienard-Wiechert 势。修正因子用于指向我们测量势的点的速度分量。