电动力学/磁场/螺线管

螺线管是由通电线圈组成的。

垂直导线阵列

首先，我们考虑穿过平面的无限垂直导线阵列。这可以看作一个非常高而窄的螺线管，由于与平面的距离，可以忽略导线在顶部和底部的通过。

我们将在这个平面上找到磁场。现在，回想一下，绕单根无限长直导线的磁场是圆形的，且某点的磁场强度由下式给出

$B={\frac {\mu I}{2\pi r}}$

其中

• B 是磁场强度，单位为特斯拉
• μ 是导线之间介质的磁导率，单位为 T m A^-1
• I 是流过导线的电流，单位为安培
• r 是导线到该点的垂直距离，单位为米

还需要记住，某点的总磁场可以通过将每根导线的各个磁场叠加得到。然而，我们不能仅仅将导线的磁场强度相加，因为磁场既有强度，又有方向，因此会根据相对电流方向加强或抵消另一根导线的磁场。因此，我们必须先计算出每根导线的矢量贡献，然后将它们叠加起来。

现在，我们知道磁场是圆形的。矢量场 xi-yj 在关于 (0,0) 的平面上是圆形的，但它的大小并不恒定。该矢量场的大小由下式给出

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

因此，在任何地方都具有单位大小且为圆形方向的矢量场为

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\mathbf {i} -{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\mathbf {j}$

现在，我们可以将该矢量场从以原点为中心移到以点 (x_i,y_i) 为中心

${\frac {x-x_{i}}{\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}\mathbf {i} -{\frac {y-y_{i}}{\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}\mathbf {j}$

为了使场与磁场相匹配，我们必须再次除以从该点到导线的距离（忽略 μ/2π 因子）。但是，我们确实包含了一个电流项以允许电流方向

${\frac {x-x_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}I\mathbf {i} -{\frac {y-y_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}I\mathbf {j}$

现在，所有 n 根导线的矢量场，每根导线都在点 (x_i,y_i)，根据叠加原理为

$I\sum _{i=1}^{n}{\frac {x-x_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\mathbf {i} -I\sum _{i=1}^{n}{\frac {y-y_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\mathbf {j}$

回想一下，矢量的大小由下式给出

$|a\mathbf {i} +b\mathbf {j} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

因此，某点处结果向量的幅值为

${\sqrt {\left(I\sum _{i=1}^{n}{\frac {x-x_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\right)^{2}-\left(I\sum _{i=1}^{n}{\frac {y-y_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\right)^{2}}}$

下面是 12 根载有单位电流的导线的磁场幅度图。请记住，每根导线都被建模为无限细的。