电动力学/麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组

当詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在进行电动力学研究时，我们一直在讨论的几个概念还没有被引入数学世界。例如，向量微积分是一个非常年轻的学科，许多目前正在使用的运算符（散度、旋度、拉普拉斯算子）在麦克斯韦时代并不存在。

最初的“麦克斯韦方程组”是一组 20 个复杂的微分方程，它们主要关注磁势的概念（这是一个在这些方程的现代变体中几乎完全被忽略的量）。

海因里希·赫兹和奥利弗·亥维赛德做了很多工作，将麦克斯韦的原始方程转化为更方便的形式。电场和磁场被认为是最重要的，而磁势则从公式化中被删除了。从赫兹和亥维赛德那里，我们得到了我们今天所知的被称为“麦克斯韦方程组”的四个方程。

四个方程

以下是麦克斯韦方程组。这些方程中的几个已经在前面的章节中见过。

[静电高斯定律]

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

[静磁高斯定律]

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

[法拉第定律]

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

[安培-麦克斯韦定律]

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

其中：$\rho$ 是电荷密度，它可以（而且通常确实）取决于时间和位置，$\epsilon _{0}$ 是真空介电常数，$\mu _{0}$ 是真空磁导率，$\mathbf {J}$ 是电流密度矢量，也是时间和位置的函数。上面使用的单位是标准的 SI 单位。在线性材料内部，麦克斯韦方程组通过将真空磁导率和真空介电常数替换为所讨论的线性材料的磁导率和介电常数而发生变化。在其他对电磁场具有更复杂响应的材料内部，这些项通常由复数或张量表示。

我们可以用另一种形式写麦克斯韦方程组，它将每个场与其源相关联：通过对第三个方程取旋度，我们得到

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B}$

由于

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\nabla \rho -\nabla ^{2}\mathbf {E}$

以及由于

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

我们得到

${\frac {1}{\epsilon _{0}}}\nabla \rho -\nabla ^{2}\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}})$

或者 $\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}+{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\nabla \rho$

类似地， $\nabla ^{2}\mathbf {B} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}\nabla \times \mathbf {j}$

使用张量

应该注意，如果不能立即注意到，前两个方程本质上是等价的，而后两个方程具有类似的形式，应该能够组合成一个单一的形式。我们可以使用我们的场张量F和G将4个麦克斯韦方程组合成两个更简洁的方程

$\sum _{\mu }{\frac {\partial \mathbb {F} _{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }}}=4\pi j_{\nu }$

$\sum _{\mu }{\frac {\partial \mathbb {G} _{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }}}=0$

对称性

您可能会注意到这两个方程非常相似，但它们并不完全对称。磁场方程的简化是因为磁场总是具有两个相反的极性，而电场可能只有一个单极性。这些方程中缺乏对称性促使科学家寻找磁单极，我们将在后面的章节中讨论它。

除了这些方程的形式之外，试图描述自然界所有力的现代“统一理论”（包括电磁力和引力）通常假设单极子的存在。作为一个基本考虑因素，物理学中许多方程和过程之间的相似性和对称性通常会导致对全新实体或现象的发现。因此，磁场和电场方程之间明显的缺乏对称性是科学家寻找单极子的简单而合乎逻辑的原因。