电动力学/麦克斯韦方程组

简介

麦克斯韦方程组连同洛伦兹力一起完整地描述了电磁学。在前面的章节中，电磁理论已经正确地表述出来，并准备在一个地方整合起来。

麦克斯韦之前的电动力学

1. 高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

2. 无磁单极子定律

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

3. 法拉第定律

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

4. 安培定律

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$

这组方程代表了詹姆斯·克拉克·麦克斯韦开始其工作时的电磁学状态。该组方程的第一个方程是高斯定律。高斯定律指出电通量始于电荷并终止于电荷或无穷远。第二个没有名字的定律指出磁场线不始于也不终止于任何地方。法拉第定律指出变化的磁场会产生电场。最后，安培定律指出磁场是由运动的电荷产生的。

当时的电磁学存在一个重大矛盾。仔细研究麦克斯韦方程组，可以发现场的散度是对称的。观察场的旋度，可以发现安培定律可能缺少一项。如果对安培定律取散度，会得到一个有趣的结果。

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}(\nabla \cdot \mathbf {J} )$

方程的左侧包含了散度和旋度的一个熟知的数学事实：旋度的散度为零。问题出现在方程的右侧。一般情况下，右侧不为零。对于稳态电流，$\mathbf {J}$ 的散度为零，但在静磁学之外，安培定律就不正确了。要观察安培定律在非稳态电流下失效的一种方法是考虑一个正在充电的电容器。

麦克斯韦的修正

没有理由期望安培定律在静磁学之外成立。安培定律来自于毕奥-萨伐尔定律，该定律适用于稳态电流的情况。一个动机来自连续性方程和高斯定律。连续性方程指出

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

利用高斯定律，很容易证明

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\nabla \cdot \epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

加上这一项，就得到了麦克斯韦对安培定律的修正。安培定律现在指出

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

麦克斯韦并没有使用连续性方程作为主要动机来得到安培定律所需的修正。这种对安培定律的修改并没有改变任何与静磁学相关的内容。无论何时电场不随时间变化，都能够恢复没有附加项的安培定律。麦克斯韦的项从未被迈克尔·法拉第或其他人通过实验发现，因为麦克斯韦的项与电流密度相竞争。麦克斯韦的项，也被称为位移电流，给方程组带来了美学上的吸引力。正如法拉第定律所说，变化的磁场会产生电场，安培定律现在也说变化的电场会感应出磁场。

麦克斯韦方程组

随着新的改进的安培定律，现在是时候展示麦克斯韦方程组的全部四个方程了。

1. 高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

2. 无磁单极子定律

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

3. 法拉第定律

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

4. 包含位移电流的安培定律

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

这些方程被称为麦克斯韦方程组。麦克斯韦将这四个方程与洛伦兹力结合在一起，完整地概括了电动力学的理论内容。麦克斯韦方程组描述了电荷如何产生场，而洛伦兹力描述了场如何影响电荷。