电动力学/求解麦克斯韦方程组

我们将求解势的两个方程，并将它们组合起来生成 E 和 B 的解。这两个方程是

$\nabla ^{2}\phi -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}J$

延迟时间

想象一个无限平面。在时间 0 时，电流被打开，因此应该产生磁场。在时间 0 之后，一个非常远点的场是多少？它仍然为 0，因为电流被打开的“消息”还没有到达那里。电磁信息以光速传播。这并不奇怪，因为光是电磁现象。我们已经看到电磁波以光速传播；只有所有电磁场都以该速度传播才有意义。

因此，让我们引入量$t_{ret}=t-r/c$称为延迟时间。假设我们有一个固定点 P，现在是时间 t。在另一个点 Q，发送电磁波。到达 P 的波不是在那一刻产生的，而是在$t_{ret}$产生的。这是因为光需要$PQ/c$时间传播到 P，所以我们必须从 t 中减去它。

事实证明，势方程的最一般解由下式给出

$\phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||}}dV$

和

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||}}dV$

当 $t_{ret}=t-{\frac {||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||}{c}}$

注意，势在实际时间 t 时给出，而积分中出现的时间是延迟时间。此外，积分是在 r' 上进行的。第三，注意 $t_{ret}$ 同时是 r 和 r' 的函数；在对包含延迟时间的积分和导数进行运算时要牢记这一点。

最后，请注意以下等式是 **不正确** 的

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||^{2}}}dV$

正如类比可能预期的那样。因此，我们关于势的公式并非一个平凡的等式；它们必须通过麦克斯韦方程进行检验。

另一方面，既然我们知道 $\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B}$ 以及 $-\nabla \phi =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$，我们可以 "轻松地" 从势中计算场。