电子学/加法器

简介

当将一个数字 A 与另一个数字 B 相加时，运算将产生一个和 S 和一个进位 C。加法器的操作如下所示。

数字加法器

半加器

如果有两个二进制数 A 和 B，则将这两个数字相加的操作可以表示如下

A + B = S C

0 + 0 = 和 0 进位 0

0 + 1 = 和 1 进位 0

1 + 0 = 和 1 进位 0

1 + 1 = 和 0 进位 1

半加器的操作可以在下面的真值表中总结

$A$	$B$	$C$	$S$
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

从上面可以看出，在逻辑门方面，异或门会产生两个输入的和，与门会产生进位。

S=A\oplus B

C=A\cdot B

半加器可以由与门和异或门构成，如下图所示

              ___________
     A ------|           |
             |   Half    |-----  $S=A\oplus B$ 
             |   Adder   |
             |           |-----  $C=A\cdot B$ 
     B ------|___________|

全加器

全加器是一种逻辑电路，对三个一位二进制数执行加法运算。全加器产生两个输入的和以及进位值。它可以与其他全加器组合（见下文），也可以独立工作。

输入			输出
$A$	$B$	$C_{i}$	$C_{o}$	$S$
0	0	0	0	0
0	1	0	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	0
0	0	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	1	1	0
1	1	1	1	1

S=(A\oplus B)\oplus C_{in}

C_{out}=(A\cdot B)+(C_{in}\cdot (A\oplus B))

请注意，进位输出之前的最终或门可以用异或门替换，而不会改变逻辑结果。这是因为或门和异或门之间的唯一区别在于两个输入都为 1 时；对于这里显示的加法器，这种情况永远不可能发生。如果希望使用常用集成电路芯片直接实现加法器，则只使用两种类型的门会很方便。

一个全加器可以使用两个半加器构建，将A和B连接到一个半加器的输入，将来自该半加器的和连接到第二个加法器的输入，将C_i连接到另一个输入，并将两个进位输出或运算。等效地，S 可以是A、B和C_i的三位异或运算，而C_o可以是A、B和C_i的三位多数函数。

多位加法器

行波进位加法器

可以使用多个全加器来创建逻辑电路，以添加N位数字。每个全加器都输入一个C_in，它就是前一个加法器的C_out。这种加法器就是行波进位加法器，因为每个进位位都会“传播”到下一个全加器。请注意，第一个（也是唯一第一个）全加器可以用半加器替换。

行波进位加法器的布局很简单，这使得设计时间很短；但是，行波进位加法器相对较慢，因为每个全加器都必须等待来自前一个全加器的进位位计算出来。门延迟可以通过检查全加器电路轻松计算出来。每个全加器需要三个逻辑级。在 32 位 [行波进位] 加法器中，有 32 个全加器，因此关键路径（最坏情况）延迟为 $32*3=96$ 门延迟。

超前进位加法器

为了减少计算时间，工程师设计了使用**进位超前加法器**（carry lookahead adder）来更快地添加两个二进制数的方法。它们通过根据每个比特位置是否传播进位（至少一个输入为“1”）、在该比特位置生成进位（两个输入都为“1”）或在该比特位置杀死进位（两个输入都为“0”）来为每个比特位置创建两个信号（*P* 和 *G*）。在大多数情况下，*P* 只是半加器的求和输出，而 *G* 是同一个加器的进位输出。在生成 *P* 和 *G* 之后，会创建每个比特位置的进位。一些先进的进位超前架构包括**曼彻斯特进位链**（Manchester carry chain）、**布伦特-孔加法器**（Brent-Kung adder）和**科格-斯通加法器**（Kogge-Stone adder）。

一些其他的多比特加法器架构将加法器分解成块。可以根据电路的传播延迟来改变这些块的长度，以优化计算时间。这些基于块的加法器包括**进位旁路加法器**（carry bypass adder），它将为每个块而不是每个比特确定 *P* 和 *G* 值，以及**进位选择加法器**（carry select adder），它预先生成块的两种可能的进位输入的求和值和进位值。

其他加法器设计包括**条件求和加法器**（conditional sum adder）、**进位跳跃加法器**（carry skip adder）和**进位完成加法器**（carry complete adder）。

进位超前单元

通过组合多个进位超前加法器，可以创建更大的加法器。这可以在多个级别上使用，以制作更大的加法器。例如，以下加法器是一个 64 位加法器，它使用四个 16 位 CLA，并有两个级别的 LCU。

参考

维基百科上的数字加法器