电子/RCL 频域

图 1：RCL 电路

定义极点频率$\omega _{n}$ 和阻尼系数 $\alpha$ 为

${\frac {R}{L}}=2\alpha$

${\frac {1}{LC}}=\omega _{n}^{2}$

为了分析电路，首先计算 s 域中的传递函数 H(s)。对于图 1 中的 RCL 电路，得到

$H(s)={\frac {s{\big (}s+2\alpha {\big )}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{n}^{2}}}$

$H(s)={\frac {s{\big (}s+2\alpha {\big )}}{{\big (}s+\alpha +j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}{\big (}s+\alpha -j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}}}$

当开关闭合时，这会对 RCL 电路施加一个阶跃波形。阶跃由$Vu(t)$ 给出。其中 V 是阶跃的电压，u(t) 是单位阶跃函数。电路的响应由冲激响应 h(t) 和阶跃函数$Vu(t)$ 的卷积给出。因此，输出由 s 域中的乘积 H(s)U(s) 给出，其中$U(s)=V{\frac {1}{s}}$ 由 附录 中提供的拉普拉斯变换给出。

u(t) 和 h(t) 的卷积由

$H(s)U(s)={\frac {V{\big (}s+2\alpha {\big )}}{{\big (}s+\alpha +j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}{\big (}s+\alpha -j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}}}$

根据 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值，系统可以被描述为：

3. 如果 $\alpha <\omega _{n}$，则称该系统为 **欠阻尼**。h(t)*u(t) 的解由以下公式给出：

$h(t)*u(t)=Ve^{-\alpha t}{\big (}\cos({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t)+{\frac {\alpha }{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}}\sin({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t){\big )}$

示例

给定以下值，当开关闭合时系统的响应是什么？

R	L	C	V
0.5H	1kΩ	100nF	1V

首先计算 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值。

$\alpha ={\frac {R}{2L}}=1000$

$\omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\approx 4472$

从这些值可以看出 $\alpha <\omega _{n}$。因此，该系统是 **欠阻尼** 的。电容器两端的电压方程为：

$h(t)*u(t)=e^{-1000t}{\big (}\cos(4359t)+0.229\sin(4359t){\big )}$

图 2：欠阻尼响应