电子学/叠加

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叠加原理

(a)

(b)

(c)

图1: 显示电阻器线性的电路。

最基本的电子电路由线性元件组成。线性元件是遵循欧姆定律的电路元件。在图1(a)中，独立电压源V₁和电阻器R，电流i₁流动。电流i₁的值根据欧姆定律。类似地在图1(b)中，独立电压源V2和电阻器R，电流i₂流动。在图1(c)中，独立电压源V1和V2，以及电阻器R，电流i流动。使用欧姆定律方程1可以得出。如果使用一些简单的代数，则可以得出方程2。但V₁/R的值为i₁，另一项为i₂，这给出了方程3。这基本上就是叠加定理所述的。

$i={\frac {V_{1}+V_{2}}{R}}$(1)

$i={\frac {V_{1}}{R}}+{\frac {V_{2}}{R}}$(2)

$i=i_{1}+i_{2}\,$(3)

叠加定理指出，所有电源及其对应激励作用在线性元件电路上的效果等于每个单独效果的代数和。每个单独效果都是通过移除所有其他激励来计算的，方法是将电压源替换为短路，将电流源替换为开路。只要控制激励不设置为零，就可以移除相关源。以一次连接一个激励的方式计算每个效果的过程一直持续到计算完所有效果为止。如果第k个激励用sk表示，由sk产生的效果用ek表示。

$\sum _{k=1}^{N}e_{k}$(4)

使用叠加的步骤如下

1. 依次计算每个电源的效果，所有其他独立电压源短路，所有独立电流源开路。

2. 将这些效果加在一起，得到完整的效果。

注意：移除每个电源通常用不同的方式描述：用其内部电阻替换每个电压源，用其内部电阻替换每个电流。这与上面描述的相同。这是因为实际的电压源由一个独立的电压源与其内部电阻串联组成，实际的电流源由一个独立的电流源与其内部电阻并联组成。

叠加示例

图2: 示例电路。

问题: 计算电阻器R₁上的电压v。

步骤1: 短路V₂，求解v₁。通过电压分配规则。

$v_{1}={\frac {V_{1}(R_{1}||R_{3})}{R_{2}+(R_{1}||R_{3})}}$(5)

短路V₁，求解v₂。通过电压分配规则。

$v_{2}={\frac {V_{2}(R_{1}||R_{2})}{R_{3}+(R_{1}||R_{2})}}$(6)

步骤 2：将影响累加。

$v=v_{1}+v_{2}\,$

使用公式 5 和 6。

$v={\frac {V_{1}(R_{1}||R_{3})}{R_{2}+(R_{1}||R_{3})}}+{\frac {V_{2}(R_{1}||R_{2})}{R_{3}+(R_{1}||R_{2})}}$

如果 $R_{1}=R_{2}=R_{3}=2k\Omega$ 以及 $V_{1}=V_{2}=15V$ 那么

$v={\frac {15(2k||2k)}{2k+(2k||2k)}}+{\frac {15(2k||2k)}{2k+(2k||2k)}}$

$v={\frac {15(1k)}{3k}}+{\frac {15(1k)}{3k}}$

$v=10V\,$