电子学手册/电路/RLC 串联

RLC 串联

电路分析

电路的阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}$

$Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{X_{C}}}(j\omega ^{2}+j\omega {\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}})$

自然响应

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=0$

${\frac {dI}{dt}}+I{\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}t$

$s=-\alpha \pm \lambda t$

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\beta ={\frac {1}{LC}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}t$

• $\lambda =0.\alpha ^{2}=\beta ^{2}$ 。只有一个实根，

s = -αt

$({\frac {R}{2L}})^{2}$ = $({\frac {1}{LC}})^{2}$

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$I=Ae^{(}-{\frac {t}{T}})$

• $\alpha ^{2}>\beta ^{2}$ ，有两个实根，

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$({\frac {R}{2L}})^{2}$ = $({\frac {1}{LC}})^{2}$

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$I=e^{-}\alpha t[e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t]$

$I=ACos\lambda t$

$A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$

• $\alpha ^{2}<\beta ^{2}$ ，有两个复根，

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$({\frac {R}{2L}})^{2}$ = $({\frac {1}{LC}})^{2}$

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$I=e^{-}\alpha t[e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t]$

$I=ASin\lambda t$

$A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$

电流随时间的变化取决于R、L和C的值

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。电流以e的指数函数递减

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。电流下降到负值，然后上升到正值

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。电路具有随时间衰减的正弦波电流

谐振响应

在谐振时，$Z_{L}-Z_{C}=0.V_{C}+V_{L}=0$

• $Z_{L}-Z_{C}=0$

$Z_{L}=Z_{C}$ .

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

分析电路在

$\omega =0.I=0$ 时。电容器开路。

$\omega =00.I=0$ 时。电感器开路。

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}.I={\frac {V}{R}}$ 时。$Z_{L}=Z_{R}.Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=Z_{R}=R$

在谐振时，串联 RLC 电路能够选择一个频率带宽，在这个带宽内电压稳定，不会随着频率变化而变化。因此，它可以用作调谐 - 谐振带通滤波器。

总结

• RLC 串联的自然响应是电流的二阶微分方程。

${\frac {d^{2}I}{dt}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}$

取决于电阻值，该方程具有

一个实根	两个实根	两个复根
一个实根 $R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ $I=e^{-}\alpha t$	两个实根 $R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$ $I=e^{-}\alpha [e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t]$ $I=ACos\lambda t$ $A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$	$R<{\sqrt {\frac {L}{C}}}$ $I=e^{-}\alpha [e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t]<br><math>I=ASin\lambda t$ $A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$

• 在谐振时，当所有与频率相关的组件抵消时，RLC 串联表现得像调谐谐振选择带通滤波器。