电子学手册/电路/RLC 串联分析

考虑一个 RLC 串联电路

1. 如果 L = 0 则电路简化为 RC 串联
2. 如果 C = 0 则电路简化为 RL 串联
3. 如果 R = 0 则电路简化为 LC 串联
4. 如果 R, L, C 不为零

RC 串联

• 微分方程

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$

${\frac {dV}{dt}}=-{\frac {1}{RC}}V$

${\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt$

$\int {\frac {1}{V}}dV=-\int {\frac {1}{RC}}dt$

ln V = $-{\frac {1}{RC}}+C$

$V=e^{-}({\frac {1}{RC}})t+C$

$V=Ae^{-}({\frac {1}{RC}})t$ 其中 $A=e^{C}$

• 时间常数

t	V(t)	% Vo
0	A = eC = Vo	100%
${\frac {1}{RC}}$	.63 Vo	60% Vo
${\frac {2}{RC}}$	Vo
${\frac {3}{RC}}$	Vo
${\frac {4}{RC}}$	Vo
${\frac {5}{RC}}$	.01 Vo	10% Vo

• 电路阻抗

Z/_θ

$Z=Z_{R}+Z_{C}$

Z = R /_0 + ( 1 / ωC ) /_ - 90

Z = = |Z|/_θ = ${\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}})^{2}}}$ /_ Tan^-1 ${\frac {1}{\omega RC}}$

Z(jω)

$Z=Z_{R}+Z_{C}$

Z = $R+{\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1+j\omega RC}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{X_{C}}}(1+j\omega T$)

• 电压和电流之间的角度差

电压和电流之间存在角度差。电流比电压超前一个角度θ

$Tan\theta ={\frac {1}{\omega RC}}={\frac {1}{f}}{\frac {1}{2\pi RC}}=t{\frac {1}{2\pi RC}}$

电压和电流之间的角度差与R、C的值以及角频率ω有关，ω也与f和t有关。因此，当改变R或C的值时，角度差将发生改变，ω、f、t也会发生改变

$\omega ={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}$

$f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}$

$t=2\pi RCTan\theta$

• 电路的一阶方程

$L{\frac {dI}{dt}}+IR=0$

${\frac {dI}{dt}}=-I{\frac {R}{L}}$

$\int {\frac {1}{I}}dI=-\int {\frac {L}{R}}dt$

ln I = $(-{\frac {L}{R}}+c)$

I = $e^{(}-{\frac {L}{R}}+c)t$

I = $e^{c}e^{(}-{\frac {L}{R}}t)$

I = $Ae^{(}-{\frac {L}{R}}t)$

• RL时间常数

τ = ${\frac {L}{R}}$

I = A $e^{-}({\frac {L}{R}})t$

t	I(t)	% Io
0	A = eC = Io	100%
${\frac {1}{RC}}$	.63 Io	63% Io
${\frac {2}{RC}}$	Io
${\frac {3}{RC}}$	Io
${\frac {4}{RC}}$	Io
${\frac {5}{RC}}$	.01 Io	10% Io

• 电路阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}$ = R/_0 + ω L/_90

Z = |Z|/_θ = ${\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}$/_Tan^-1$\omega {\frac {L}{R}}$

Z(jω)

$Z=Z_{R}+Z_{L}=R+j\omega L$

$Z=R+j\omega L=R(1+j\omega {\frac {L}{R}})$

• 电压和电流之间的相位差

在RL串联电路中，只有L是依赖于频率的元件。在R上，电压和电流之间没有相位差。电压和电流之间存在90度的相位差。当R和L串联连接时，电压和电流之间存在0到90度的相位差，可以用以下数学公式表示

$Tan\theta =\omega {\frac {L}{R}}=2\pi f{\frac {L}{R}}=2\pi {\frac {1}{t}}{\frac {L}{R}}$

$\omega =Tan\theta {\frac {R}{L}}$

$f={\frac {1}{2\pi }}Tan\theta {\frac {R}{L}}$

$t=2\pi {\frac {1}{Tan\theta }}{\frac {L}{R}}$

• 总结

RL串联电路具有电流的一阶微分方程

该方程具有以下形式的一个实根

$I(t)=Ae^{\frac {t}{T}}$

$A=e^{c}$

${\frac {d}{dt}}f(t)+{\frac {1}{T}}=0$

该方程的解具有以下形式

$f(t)=Ae^{\frac {-t}{T}}$