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正弦波振荡器

考虑一个由 L 和 C 串联组成的电路

$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}Idt=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {L}{C}}=0$

$S^{2}+{\frac {1}{LC}}=0$

$S=\pm j{\sqrt {\frac {1}{LC}}}t=\pm \omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$I=e^{(}St)=e^{(}j\omega t)+e^{(}-j\omega t)$

$I=ASin\omega t$

驻波振荡器

串联 L 和 C 电路在两个元件的阻抗抵消时处于共振状态

$Z_{L}-Z_{C}=0$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$V_{L}+Z_{C}=0$

$Z_{C}=-V_{L}$

电路有能力产生以以下频率振荡的驻波

指数衰减正弦波振荡器

考虑一个由 RLC 串联组成的电路

$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}Idt+IR=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$S^{2}+{\frac {R}{L}}S+{\frac {1}{LC}}=0$

$S=(-\alpha \pm \lambda )t$

$i=e^{(}-\alpha \pm \lambda )t$

$\alpha =-{\frac {R}{2L}}$

$\beta ={\frac {1}{LC}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

当 $\lambda <0$

$\alpha ^{2}<\beta ^{2}$

$i=e^{(}-\alpha \pm j\lambda )t$

$i=e^{(}-\alpha t)[e^{(}j\lambda t)+e^{(}-j\lambda t)]$

$i=e^{(}-\alpha t)Sin\lambda t$

该电路能够产生指数衰减幅度的正弦波。

总结

1. 无损 LC 串联电路在平衡状态下能够产生正弦波。
2. 无损 LC 串联电路在谐振状态下能够产生驻波正弦波。
3. 有损 RLC 串联电路在平衡状态下能够产生指数衰减正弦波。