数字系统和位值。

不同的数字系统 - 基数

理解数字系统是什么

我们常用的数字系统（十进制系统）由 10 个数字组成（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）。“Deci-” 是拉丁语前缀，表示十。因此，“十进制”指的是以十为单位计数的数字系统。我们可以从 0 计数到 9，但是当我们到达 9 并尝试递增时，我们需要在数字中添加另一个位。在十进制系统中，9 之后的数字是 10。每个位都是基数的某个递增次方的结果。这听起来可能令人困惑，但请尝试以下示例：1234。 4*10⁰ + 3*10¹ + 2*10² + 1*10³ = 1234。第一个数字 (4) 等于四个 1（1 = 10⁰）。第二个 (3) 等于三个 10（10 = 10¹）。第三个 (2) 等于两个 100（100 = 10²），第四个数字等于一个 1000（1000 = 10³）。在不同的系统中书写时，必须注意确保读者不会混淆当前使用的系统。因此，您会定期看到 N₁₀ 表示十进制系统中的数字，N₂ 表示二进制系统中的数字，N₈ 表示八进制，或 N₁₆ 表示十六进制。这些（二进制、八进制、十进制和十六进制）是最常用的系统，尽管理论上您可以使用任何数字作为基数。

二进制系统

计算机使用二进制作为其数字系统，这意味着它们只使用数字 0 和 1。这对应于电流是否接通，电流的存在（或不存在）是运行计算机上的应用程序的原因。从 0 开始，下一个二进制值是 1，就像十进制系统一样。但是，在 1 之后，二进制中没有 2。如果您意识到 2₁₀ = 1*2¹，您已经迈出了理解二进制的第一步。2₁₀ = 1*2¹ + 0*2⁰。或者，2₁₀ = 10₂。

十进制系统

第一个数字表示个位，第二个数字表示十位，第三个数字表示百位。例如，数字 123 被分解成三个不同的位，3 在个位上，2 在十位上，1 在百位上。所以我们从最左边的数字开始，读作一百二十三，我们可以通过加法分解它为 100 + 20 + 3 = 123。再往后，我们需要在百位后加一个逗号，在千位前加一个逗号。

数字可以变得非常大或非常小，我们将举例说明千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位。您可以看到数字系统是如何自我扩展的，越往左走，数字就越大。让我们使用数字 123,000，并注意到个位、十位和百位上都是零，所以我们可以暂时忽略它们。一个零本身没有任何价值，但是把数字放在零的左边，它的值就会增加。123,000 中，3 在千位上，2 在万位上，1 在十万位上。注意，我们在 3 前面和最左边零后面加了一个逗号。这是为了将数字的类别分隔开来，便于阅读。数字 123,000 读作一百二十三万。

123,000,000 是另一个例子，3 在百万位上，2 在千万位上，1 在亿位上。在百万位前有一个逗号，在千位前还有一个逗号。学生会注意到，每向左三个空格就会添加一个逗号，使数字更容易阅读。123,000,000 读作一百二十三万。3 在百万位上，2 在千万位上，1 在亿位上。

该模式在 123,000,000,000 中重复出现，如您现在所见，六位数字加上前面的数字表示百万，九位数字加上前面的数字表示十亿。因此，如果存在 1,000,000 个数字，则 1 前面的六个零表示一百万，而 1,000,000,000 表示十亿。学生现在应该了解我们数字系统的模式。十亿之后是兆，即 1,000,000,000,000 或十二个零。这些数字通常非常大，可以用来记录一个国家的国债和支出。123,000,000,000 是一百二十三亿，如果你猜对了，123,000,000,000,000 是一百二十三兆。

每个向左移动的空格都有一个位值。第一个数字是个位，第二个数字是十位，第三个数字是百位。每个值增加 10 或乘以 10，所以 10 乘以 10 等于 100。20 乘以 10 等于 200。11 乘以 10 等于 110。也就是说，每个数字可以容纳 0 到 9，但是超过 9 或更高，它的值就会移动到下一个位置。例如，您不能在个位或更高位上放置一个两位数，您必须将左侧数字放在十位上，将左侧数字右侧的数字放在个位上。任何一位都不能容纳大于 9 的数字，学生以后必须学习在加减法中进位，处理加减法中将值从一位移动到另一位的操作，但这超出了本文的范围。

到目前为止，我们已经涵盖了正整数。在本文的后面，我们将涵盖有理数等类型。这样做意味着我们将学习小数是什么，以及小数点右侧的数字意味着什么。到目前为止，我们已经涵盖的所有整数都在小数点的左侧，所以 123 实际上是 123.00，如果我们必须将二分之一或 1/2 添加到 123 中，我们将得到 1/2 是 0.50，添加到 123 中等于 123.50，其中 0.50 是小于 1 但大于 0 的数字。