工程声学/声波方程

为了推导出波方程，将三个关系式结合起来：状态方程、理想气体定律；连续性方程、质量守恒；牛顿定律、动量守恒。从声速可以推导出声压与体积模量之间的关系，

$c_{o}^{2}={\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {p'}{\varrho '}}={\frac {p'}{\rho -\rho _{o}}}.$

使用凝聚度的定义，流体密度相对变化，用 $s$ 表示，

${\frac {p'}{\rho _{o}}}=c_{o}^{2}{\Big (}{\frac {\rho -\rho _{o}}{\rho _{o}}}{\Big )}=c_{o}^{2}s,$

并引入体积模量，它隐式地利用了理想气体定律，

$p'=\rho _{o}c_{o}^{2}s=\gamma P_{o}s=B_{o}s.$

连续性方程的一般形式，从流体动力学的控制体积得到，简化为笛卡尔坐标系中的一维形式。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}(\rho {\vec {U}})=0$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{o}{\frac {\partial U}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}c_{o}^{2}}}{\frac {\partial P}{\partial t}}$

利用牛顿定律作用于流体元素，作用于流体边界上的净力导致流体加速，与流体质量成正比，

$A(P(x)-P(x+dx))=(Adx\rho _{o}){\frac {dU}{dt}}.$

注意到

${\frac {P(x)-P(x+dx)}{dx}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$

当 $dx$ 趋近于零时，计算导数，并忽略小项，

${\frac {\partial P}{\partial x}}dx=(\rho _{o}dx){\frac {dU}{dt}}=(\rho _{o}dx){\Big (}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}{\Big )}$

${\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial P}{\partial x}}.$

为了得到波动方程，对连续性方程进行关于时间的偏导数，对动量守恒方程进行关于空间的偏导数。通过将这两个结果等同并消除两边的密度项，

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial t\partial x}}={\frac {-1}{\rho _{o}c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}$

可以得到声波方程。

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0.$

以上方程是一维形式的声波方程。它可以推广到三维笛卡尔坐标系。

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}P}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0.$