工程声学/笛卡尔坐标系中的声波解

一维声波方程由以下二阶偏微分方程描述。

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{C_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}$

它可以用变量分离法，也称为傅里叶方法求解。假设压强是仅依赖于空间的一个函数与仅依赖于时间的另一个函数的乘积。

$P(x,t)=X(x)T(t)$

代回波方程

$X''T={\frac {1}{C_{o}^{2}}}XT''$

${\frac {X''}{X}}={\frac {1}{C_{o}^{2}}}{\frac {T''}{T}}=-\lambda ^{2}$

该替换导致两个齐次的二阶常微分方程，一个关于时间，一个关于空间。

$T''+C_{o}^{2}\lambda ^{2}T=0$

$X''+\lambda ^{2}X=0$

时间函数预计将取决于波的角频率。

$T=Ce^{j\omega t}$

代入并解出常数，该常数定义为波数 K。

$-\omega ^{2}+C_{o}^{2}\lambda ^{2}=0$

$K^{2}=\lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{C_{o}^{2}}}$

波数是一个重要的量，它将波的角速度与其在介质中的传播速度联系起来。它可以用不同的形式表达。

$K={\frac {\omega }{C_{o}}}={\frac {2\pi f}{C_{o}}}={\frac {2\pi }{\lambda }}$

其中 $f$ 是以赫兹为单位的频率，$\lambda$ 是波长。

可以使用波数求解第二个微分方程。空间函数给出一个一般形式。

$X=Ce^{jrx}$

代入并求解$r$.

$-r^{2}+K^{2}=0$

$r=\pm K$

得到了一维声波方程的解。

$P(x,t)=(C_{1}e^{jKx}+C_{2}e^{-jKx})e^{j\omega t}$

该解的实部和虚部也是一维波方程的解。

$P(x,t)=C_{1}cos(\omega t+Kx)+C_{2}cos(\omega t-Kx)$

$P(x,t)=C_{1}sin(\omega t+Kx)+C_{2}sin(\omega t-Kx)$

使用相量表示法，该解可以写成更简洁的形式。

$\mathbf {P(x,t)} =\mathbf {P} e^{j(\omega t\pm Kx)}$

通过取上述复数形式的实部可以得到实际的解。上述常数的值可以通过应用初始条件和边界条件来确定。一般来说，以下形式的任何函数都是周期波的解。

$P(x,t)=f_{1}(\omega t+Kx)+f_{2}(\omega t-Kx)$

类似地，对于行波，

$P(x,t)=f(ct+x)+g(ct-x)$

$P(x,t)=f(\xi )+g(\eta )$

其中$f$和$g$是任意函数，代表两个沿相反方向传播的波。这些被称为达朗贝尔解。这两个函数的形式可以通过应用初始条件和边界条件来找到。