工程声学/单簧管声学

单簧管是木管乐器家族中的一种，广泛用于管弦乐队或爵士乐队。单簧管有不同类型，尺寸和音调也不同：降B调、降E调、低音、倍低音等等。单簧管通常提供约3 kPa的声压气流，或一个大气压的3%。

单簧管由几个声学组件组成

• 吹嘴-簧片系统：像一个能量源，它产生气流和压力的振荡成分，充入乐器。
• 圆柱形管身：一个共鸣体，形成气柱并产生驻波。
• 喇叭口（在圆柱形管身的开口端）和开音孔：充当辐射器。

从能量的角度来看，演奏者注入的大部分能量用于补偿圆柱形管身内部壁的热和粘性损耗，而只有一小部分能量通过喇叭口和开孔辐射出去，被听众听到。

吹嘴-簧片系统

簧片充当弹簧状振荡器。它将稳定的输入气流（直流）转换为声学振动气流（交流）。然而，它不仅仅是一个单向转换器，因为它还与乐器中气柱的共鸣相互作用，即

• 最初，增加吹气压力会导致更多空气流入单簧管管身。
• 但吹气压力与吹嘴压力之间的差异过大，会导致簧片与吹嘴之间的开口关闭，最终导致零气流。

这种行为在图2中大致描述

图2：吹嘴-簧片系统图

集中簧片模型由以下公式描述：

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu {\frac {dy}{dt}}+k(\Delta p)y=\Delta p,$

其中$y$是簧片位移，$m$是质量，$\mu$是阻尼系数，$k$是刚度，被视为$\Delta p$的函数。

让我们更详细地了解一下输入气流、演奏者嘴里的气压以及吹嘴室里的气压之间的关系。

图3：输入气流与压差 ($\Delta p=p_{mouth}-p_{chamber}$)

图3大致分为两个部分。左侧显示了类似电阻的特征，即气流随着嘴压与吹嘴压差的增加而增加。右侧显示了负电阻，即气流随着压差的增加而减少。交流振荡仅发生在右侧，因此演奏者必须以落在一定范围内的嘴压演奏。具体来说，压差必须大于对应于右侧开始的最小压力，但不能超过关闭簧片的最大压力。

流速 $U$与簧片通道上的压差 $\Delta p$之间的关系由伯努利方程描述

$U=hw{\sqrt {\frac {2|\Delta p|}{\rho }}}sgn(\Delta p),$

其中 $h$ 是簧片开口，$w$ 是通道的宽度，$\rho$ 是流体密度。簧片开口 $h$ 与压差 $\Delta p$ 有关。大约，增加 $\Delta p$ 会导致减少 $h$ 直到吹嘴通道闭合，没有气流填入。

吹嘴-簧片系统的非线性行为很复杂，超出了线性声学的范围。麦吉尔大学的安德烈·达·席尔瓦 (2008) 使用二维格子玻尔兹曼模型模拟了单簧片吹嘴的完全耦合流体-结构相互作用，在他的 博士论文 中可视化了不同时刻的速度场。

圆柱形孔

如果所有音孔都关闭，单簧管的主孔近似为圆柱形，吹嘴端可以看作封闭端。因此，主孔的主要声学行为类似于圆柱形闭口-开口管（一端封闭，一端开口的管子）。另外，为了进一步简化问题，这里假设管壁是刚性的，完美光滑的，并且是热绝缘的。

孔内的声传播可以表示为许多正常模的总和。这些模式是由圆柱坐标系中所有三个轴上的波运动产生的，即沿横向同心圆的波运动，沿横向径向平面的波运动以及沿管道主轴的平面波运动。但是，由于横向模式在真实乐器中只被微弱地激发，因此我们在这里不讨论它们，而只关注纵向平面波。

基频

主孔限制的空气柱的自然振动由一系列驻波支撑。即使没有任何数学分析，通过检查边界条件，我们也能直观地了解这些驻波的一些重要物理特征。在开口端必须存在压力节点，因为开口端附近的总压力几乎与环境压力相同，这意味着开口端没有声压。然后，当我们观察封闭端（实际上，连接吹嘴室的端部并非完全封闭，总是有一个开口让空气填入，但为了简化分析，我们“假装”端部完全封闭）时，由于气流的体积速度几乎为零，因此压力达到最大值。然后，可以从波长最长的波中找到这些驻波的最低频率，该波长是乐器孔长度的四倍。为什么？因为如果我们将该正弦波的四分之一圆画出来，并将其放入闭口-开口管中，则峰值振幅位于封闭端，而零振幅位于开口端，这是闭口-开口管内压力驻波的完美表示。图 4 描绘了理想闭口-开口圆柱形管中最低音调（第一谐振频率）对应的压力波和速度波。

图 4：无损耗圆柱形闭口-开口管中 f0 的压力和速度分布

图 5 是长度为 148 厘米的闭口-开口管的第 1、第 3 和第 5 谐振频率的归一化压力和速度分布。为了简化问题，开口端的反射率简化为 -1，并且没有考虑粘性损失。

图 5：无损耗圆柱形闭口-开口管中 f1、f3 和 f5 的压力和速度分布

谐波系列

在主孔中，其他更高频率的驻波也是可能的，但它们的频率必须是基频的奇次谐波，因为存在闭口-开口限制。这也是塑造单簧管独特音色的一个重要因素。具体来说，长度为 L 的闭口-开口管的谐振频率系列由以下公式给出：

$f_{n}={\frac {(2n-1)c}{4L}}$，其中 $n=1,2,...$

例如，对于长度为 14.8 厘米的孔，前 5 个谐波分别为：0.581、1.7432、2.9054、4.0676、5.2297 千赫。该计算基于理想的圆柱形管。然而，对于真正的单簧管，谐振频率不仅由孔的长度决定，还由孔的形状（不是完美的圆柱体）以及音孔的指法决定。此外，由于开口端辐射阻抗引起的 端部校正 效应，未法兰开口管的有效长度为 $L_{eff}=L+0.6a$，. 因此基频和谐波系列都会降低一点。

音孔

单簧管音孔的作用可以从两个方面来看。

首先，开放的音孔改变了主管的有效长度，从而改变了封闭气柱的共振频率。单簧管产生的每个离散音符都由特定的指法决定，即开放和封闭音孔的特定组合。通过使用先进的演奏技巧，演奏者可以演奏音高弯曲（从一个音符到下一个音符的音高连续变化）。这些技巧包括部分遮盖音孔（对于从 G3/175 Hz 到 G4/349 Hz 及 D5/523 Hz 以上音符的有限音高弯曲）以及使用声道（对于 D5/523 Hz 以上的显著音高弯曲）。 格什温的《蓝色狂想曲》 开头几小节展示了一个著名的例子，即在一个高达 2.5 个八度的音域内进行大幅度音高弯曲。

其次，声音从开放的音孔和喇叭口发出，这使得单簧管（以及其他木管乐器）与另一类管乐器，即铜管乐器，具有不同的指向性模式，铜管乐器具有类似的开放喇叭口，但没有侧孔。

我们将在后面看到如何计算音孔改变后的声阻抗。

喇叭

单簧管的喇叭口扩散不如铜管乐器重要，因为开放的音孔除了喇叭口外，还为声音辐射提供了贡献。喇叭的主要作用是形成从管内到周围空气的平滑阻抗过渡。 即使没有喇叭，单簧管在大多数音符上仍然可以正常演奏。

音区孔

音区孔的主要目的是破坏基频，但尽可能保持高次谐波，这样音符的频率就会因打开音区孔而增加三倍。

管内波的传播

波动方程

单簧管主管内的声波传播由一维波动方程描述

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}P(x,t)}{\partial x^{2}}},$

其中 $x$ 是沿传播方向的轴线。

声压波 $P(y,t)$ 的复数解为

$P(x,t)=(Ae^{-jkx}+Be^{jkx})e^{j\omega t},$

其中 $k=\omega /c$ 是波数，$\omega =2\pi f$，A 和 B 分别是左、右行传播压力波的复数振幅。

另一个有趣的物理参数是体积速度 $U(x,t)$，定义为粒子速度 $V(x,t)$ 乘以横截面积 $s$。体积速度 $U(x,t)$ 的复数解由下式给出

$U(x,t)={\frac {s}{\rho c}}(Ae^{-jkx}-Be^{jkx})e^{j\omega t},$

声阻抗

图 6：理想无损圆柱形管道的输入阻抗

声学输入阻抗$Z_{in}(j\omega )$ 在频域中提供了关于单簧管声学特性的非常有用的信息。音调和响应可以从输入阻抗推断出来，例如，更尖锐和更强的峰值表示更容易演奏的频率。

输入阻抗（在频域中）定义为管道输入端（x=0）的压力与体积流量之比：

$Z_{in}(j\omega )={\frac {P(j\omega )|_{x=0}}{U(j\omega )|_{x=0}}}=Z_{c}{\frac {Z_{L}cos(kL)+jZ_{c}sin(kL)}{jZ_{L}sin(kL)+Z_{c}cos(kL)}},$

其中$Z_{L}$ 是单簧管管口处的负载阻抗，而$Z_{c}=\rho c/s$ 是特征阻抗。

在这一点上，如果我们想快速了解单簧管管口的输入阻抗，我们可以忽略辐射损耗，并假设主管口末端没有负载阻抗，以简化问题。我们也可以忽略由于壁损耗引起的吸声。通过这些简化，我们可以使用 Matlab 计算长度为 $L=0.148$ 米，半径为 $r=0.00775$ 米的圆柱形管道的理论输入阻抗，如图 6 所示。

辐射阻抗

图 7a：开放端管道的反射幅度和长度修正

图 7b：开放端管道的辐射阻抗归一化幅度

圆柱形管口处的负载阻抗由辐射阻抗$Z_{r}$ 表示。我们之前在讨论理想圆柱形管道的输入阻抗时假设了$Z_{r}=0$。虽然它很小，但真实单簧管的辐射阻抗显然不为零。不仅主管口末端有辐射阻抗，每个开放的音孔也都有其自身的辐射阻抗。

直接测量辐射阻抗并不容易。但是，我们可以从管子的输入阻抗$Z_{in}$来获取： $Z_{r}=jZ_{c}tan[atan(Z_{in}/jZ_{c})-kL]$，其中$L$是管子的长度，$a$是半径。

或者，我们也可以从开口端的反射系数$R$来计算辐射阻抗，关系式为

$Z_{r}={\frac {\rho c}{S}}{\frac {1+R}{1-R}}$

其中$\rho$是空气密度，$c$是声速，$S$是管子的横截面积。

Levine 和 Schwinger 给出了具有有限壁厚的管子的$R$的理论值，其中$R$由其模量$|R|$和长度修正$l(\omega )$计算为$R=-|R|e^{-2jkl}$。Levine 和 Schwinger 提出的原始方程相当复杂。为了简化，如 图 7a 所示，$R$ 和长度修正 可以用 Norris 和 Sheng (1989) 给出的有理方程近似。 图 7b 中给出了辐射阻抗。

$|R|={\frac {1+0.2ka-0.084(ka)^{2}}{1+0.2ka+0.416(ka)^{2}}}$ $l/a={\frac {0.6133+0.027(ka)^{2}}{1+0.19(ka)^{2}}}$

传输矩阵

管段

由于声阻抗对于单簧管的音质和特性至关重要，因此我们想知道沿主管身的任何位置的声阻抗。这个问题可以通过传输矩阵法解决。我们将看到，通过引入额外的串联和并联阻抗，音孔的影响也可以纳入乐器的声阻抗网络。

整个管身可以看作是一系列级联的圆柱形截面，每个截面都有一个输入端和一个输出端，如下图所示

图 8：一个管身截面

输入端的压力和体积速度与输出端的压力和体积速度通过相应的传输矩阵相关联

${\begin{bmatrix}P_{1}\\U_{1}\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}P_{2}\\U_{2}\end{bmatrix}}$ 其中 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}cos(kL)&jZ_{c}sin(kL)\\{\frac {j}{Z_{c}}}sin(kL)&cos(kL)\end{bmatrix}}$

因此，$Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ 的关系为：$Z_{1}={\frac {b+aZ_{2}}{d+cZ_{2}}}$。给定圆柱形管子的输入阻抗或负载阻抗，我们可以计算沿着传播轴的管子任何位置的声阻抗。

音孔部分

现在我们来处理音孔。开孔或闭孔音孔的影响可以用并联和串联阻抗网络表示，如下图 9 所示。

图 9：音孔的并联和串联阻抗

图 10：将音孔网络与管身网络结合起来

音孔的并联阻抗 $Z_{s}$ 和串联阻抗 $Z_{a}$，半径为 $b$ 的音孔在一个半径为 $a$ 的主管身中，由下式给出：

$Z_{sc}=(\rho c/\pi a^{2})(a/b)^{2}(-jcotkt),$ $Z_{so}=(\rho c/\pi a^{2})(a/b)^{2}(jkt_{e}),$ $Z_{a}=(\rho c/\pi a^{2})(a/b)^{2}(-jkt_{a}),$

其中 $Z_{sc}$ 是闭合音孔的并联阻抗，$Z_{so}$ 是开孔音孔的并联阻抗，$Z_{a}$ 是闭合或开孔音孔的串联阻抗，$t_{e}$ 和 $t_{a}$ 与几何烟囱高度有关。

如图 10 所示，音孔网络可以作为一个零长度部分插入到管身部分，其中 $Z_{r}$ 和 $Z_{rt}$ 分别是管身和开孔音孔的辐射阻抗。在低频近似情况下，音孔可以被看作是一个短圆柱形管身，其辐射阻抗可以用类似的方式计算。组合 $Z_{in}=P_{in}/U_{in}$ 的输入声学阻抗可以从整个网络中计算出来。

壁损失

在之前的讨论中，我们假设了一个完美的刚性、光滑且热绝缘的壁。当然，在实际情况下，单簧管的管身并非那么理想，因此必须考虑由于粘性阻力和热交换造成的损失。热粘性损失的全部物理细节很复杂且繁琐，超出了本文的范围。幸运的是，如果我们只关心最终的影响，我们就不必进行那么详细的分析，即只需简单地用其复数兄弟替换波数 ($k=\omega /c$) 的传输矩阵系数，Bingo！我们新的传输矩阵会自动考虑壁损失的影响。波数的复数形式如下：

$K=\omega /\nu -j\alpha .$

这里我们注意到两个有趣的差异。首先，声速$c$ 被替换为“相速度” $\nu$，它不是一个常数，而是频率和管道几何半径的函数。其次，有一个虚数项 $j\alpha$，其中 $\alpha$ 是每单位路径长度的衰减系数，它也是频率和管道几何半径的函数。相速度和衰减系数都受环境参数的影响，如温度、空气粘度、空气比热和热导率。

相速度和衰减系数与频率相关的事实表明，不仅声阻抗的幅值，而且其相位也受到壁面损耗的影响。换句话说，壁面损耗不仅影响乐器的响度，也影响其音调。这意味着，当我们设计单簧管时，如果我们基于具有完美刚性和光滑壁面的理想圆柱形管道的假设来计算输入阻抗，那么这种乐器的音调将有问题！使用与材料物理特性相关的复波数将改进我们的设计，至少会缩短理论预测和实际结果之间的差距。

复波数也受环境参数影响的事实表明，木管乐器的音调可能会因环境因素而改变，例如房间温度。

比较由于热粘性损耗引起的耗散功率与单簧管管体上的辐射功率将是一件有趣的事情。从 0 Hz 到 2000 Hz 的范围内，使用 Matlab 进行仿真，其中管道的长度为 0.148 m，半径为 0.00775 m，空气的特性是在 20 摄氏度的温度下选择的。我们发现，除了共振频率附近的小区域外，耗散功率远大于辐射功率。

图 10：耗散功率与辐射功率

其他有用链接

• 新南威尔士大学单簧管声学：关于单簧管声学和一般音乐声学几乎所有内容。这个优秀的在线知识库由新南威尔士大学维护。
• NICTA-UNSW 单簧管机器人：在线视频展示了一个可以演奏单簧管的机器人，帮助人们更好地理解单簧管演奏。
• 单簧管声学：入门.
• 单簧管声学基础：另一篇关于单簧管声学基础的在线文章。
• 什么是声阻抗，为什么它很重要？以直观的方式解释声阻抗。
• 木管乐器的物理建模。单簧管的物理行为可以通过数字波导来建模，这是一种高效的时域建模技术。数字波导被用于雅马哈的虚拟乐器，如VL70m。查看 J.O.Smith 的在线书籍物理音频信号处理，以获取有关基于数字波导的物理建模技术的更多详细信息。
• 物理建模单簧管：另一个物理建模单簧管的电子实现。