工程声学/受迫振动（简单弹簧-质量系统）

弹簧-质量系统

弹簧-质量系统处于平衡状态 (A)、压缩状态 (B) 和拉伸状态 (C)。

当弹簧被质量拉伸或压缩时，弹簧会产生恢复力。胡克定律给出了弹簧在压缩或拉伸一定长度时所施加的力的关系

$F\left(t\right)=-kx\left(t\right)$

其中 F 是力，k 是弹簧常数，x 是质量相对于平衡位置的位移。

这种关系表明弹簧的距离始终与弹簧的力相反。

通过使用力平衡或能量方法，可以很容易地证明该系统的运动由以下微分方程给出

$F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} {t}^{2}}}x\left(t\right)=ma.$

... 显然，后者是牛顿第二运动定律。

如果初始位移为 A，并且没有初始速度，则该方程的解由下式给出

$x\left(t\right)=A\cos \left({\sqrt {k \over m}}t\right).$

对于理想的无质量弹簧，$m$ 是弹簧末端的质量。如果弹簧本身有质量，则必须将它的有效质量包含在 $m$ 中。

弹簧-阻尼系统中的能量变化

从能量角度来看，所有系统都具有两种类型的能量，势能和动能。当弹簧被拉伸或压缩时，它会储存弹性势能，然后弹性势能被转化为动能。弹簧内的势能由方程 $U=k{x}^{2}/2.$ 确定。

当弹簧被拉伸或压缩时，质量的动能被转化为弹簧的势能。根据能量守恒定律，假设基准定义在平衡位置，当弹簧达到最大势能时，质量的动能为零。当弹簧被释放时，弹簧将试图回到平衡状态，其所有势能被转化为质量的动能。