工程声学/平面波的反射和透射

特征声阻抗

在讨论平面波的反射和透射之前，首先研究粒子速度和声压之间的关系。

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

声压和粒子速度可以用复数形式描述。

$\mathbf {p} =\mathbf {P} e^{j(\omega t-Kx)}$

$\mathbf {u} =\mathbf {u_{o}} e^{j(\omega t-Kx)}$

微分并代入，

$-j\omega \mathbf {u} ={\frac {-jK\mathbf {p} }{\rho _{o}}}={\frac {-j\omega \mathbf {p} }{\rho _{o}c_{o}}}$

$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} }{\rho _{o}c_{o}}}$

定义平面波的特征声阻抗。

$\mathbf {z} ={\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {u} }}=\rho _{o}c_{o}=r_{o}$

平面波：法向入射

考虑一个在特征声阻抗为$r_{1}=\rho _{1}c_{1}$的无限介质中传播的入射平面波，遇到介质1和介质2之间的边界。部分波被反射回介质1，其余部分被透射到特征声阻抗为$r_{2}=\rho _{2}c_{2}$的介质2。介质1中的压力场由波的入射分量和反射分量的总和描述。

$\mathbf {p_{1}} =\mathbf {p_{i}} +\mathbf {p_{r}} =\mathbf {P_{i}} e^{j(\omega t-K_{1}x)}+\mathbf {P_{r}} e^{j(\omega t+K_{1}x)}$

介质2中的声场仅由波的透射部分组成。

$\mathbf {p_{2}} =\mathbf {p_{t}} =\mathbf {P_{t}} e^{j(\omega t-K_{2}x)}$

垂直入射平面波的反射和透射。

注意，波的频率在边界上保持不变，但是声阻抗在边界上发生变化。每种介质中的传播速度不同，因此每种介质的波数也不同。需要满足两个边界条件

1. 声压在边界处必须连续
2. 粒子速度在边界处必须连续

施加第一个边界条件得到

$\mathbf {p_{1}} (x=0)=\mathbf {p_{2}} (x=0),$

$\mathbf {P_{i}} +\mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{t}} .$

施加第二个边界条件得到

$\mathbf {u_{1}} (x=0)=\mathbf {u_{2}} (x=0),$

$\mathbf {u_{i}} (x=0)+\mathbf {u_{r}} (x=0)=\mathbf {u_{t}} (x=0),$

并且使用特征阻抗的定义，这些方程可以用声压表示

${\frac {\mathbf {P_{i}} }{r_{1}}}-{\frac {\mathbf {P_{r}} }{r_{1}}}={\frac {\mathbf {P_{t}} }{r_{2}}}.$

声压反射系数是指反射声压与入射声压之比，$\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}$。声压透射系数是指透射声压与入射声压之比，$\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}$。比声阻抗比定义为：$\zeta ={\frac {r_{2}}{r_{1}}}$。根据以上定义，边界条件可以改写为

$1+\mathbf {R} =\mathbf {T}$

$1-\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {T} }{\zeta }}.$

求解声压反射系数得到

$\mathbf {R} =\mathbf {T} -1={\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}={\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{2}+r_{1}}}.$

求解声压透射系数得到

$\mathbf {T} =\mathbf {R} +1={\frac {2\zeta }{\zeta +1}}={\frac {2r_{2}}{r_{2}+r_{1}}}.$

求解比声阻抗比得到

$\zeta ={\frac {1+\mathbf {R} }{1-\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {T} }{2-\mathbf {T} }}.$

情况一：刚性边界

考虑一个入射平面波遇到刚性边界。当介质2的比声阻抗远大于介质1的比声阻抗时，这种情况就会发生。因此，比声阻抗比非常大，反射系数接近1，透射系数接近2。

$\mathbf {R} =1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)=0$

$\mathbf {T} =2={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =2\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=2\mathbf {P_{i}}$

入射波和反射波的振幅相等。反射波与入射波同相。边界处的粒子速度为零。边界处的声压振幅等于入射波压振幅的两倍，并且达到最大值。

情况二：弹性边界

考虑一个遇到弹性边界的入射平面波。如果介质 2 的特征阻抗远小于介质 1 的特征阻抗，则会出现这种情况。因此，特征声阻抗比接近于零，反射系数接近于 -1，透射系数接近于零。

$\mathbf {R} =-1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =-\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)={\frac {\mathbf {2P_{i}} }{r_{1}}}$

$\mathbf {T} =0={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =0\Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=0$

入射波和反射波的振幅相等。反射波与入射波反相 180 度。边界处的粒子速度达到最大值。边界处的声压为零。

情况 3：两种介质的阻抗相等

考虑两种具有相同特征声阻抗的介质，使得特征声阻抗比为 1，反射系数为 0，透射系数为 1。因此，波不会反射，只会透射。它的行为就像没有边界一样。