工程声学/平面波的反射和透射

在讨论平面波的反射和透射之前，先研究一下粒子速度和声压之间的关系。

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

声压和粒子速度可以用复数形式来描述。

$\mathbf {p} =\mathbf {P} e^{j(\omega t-Kx)}$

$\mathbf {u} =\mathbf {u_{o}} e^{j(\omega t-Kx)}$

求导并代入，

$-j\omega \mathbf {u} ={\frac {-jK\mathbf {p} }{\rho _{o}}}={\frac {-j\omega \mathbf {p} }{\rho _{o}C_{o}}}$

$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} }{\rho _{o}C_{o}}}$

定义平面波的声阻抗。

$\mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {u} }}=\rho _{o}C_{o}$

考虑一个入射平面波在声阻抗为$r_{1}=\rho _{1}C_{1}$的介质中传播，并遇到介质1和介质2之间的边界。一部分波被反射回介质1，另一部分被透射到声阻抗为$r_{2}=\rho _{2}C_{2}$的介质2中。介质1中的声场由入射波和反射波的叠加来描述。

$\mathbf {p_{1}} =\mathbf {p_{i}} +\mathbf {p_{r}} =\mathbf {P_{i}} e^{j(\omega t-K_{1}x)}+\mathbf {P_{r}} e^{j(\omega t+K_{1}x)}$

介质2中的声场只由透射波分量组成。

$\mathbf {p_{2}} =\mathbf {p_{t}} =\mathbf {P_{t}} e^{j(\omega t-K_{2}x)}$

垂直入射平面波的反射和透射

注意，波的频率在边界处保持不变，但是比声阻抗在边界处发生变化。每个介质中的传播速度不同，因此每个介质的波数也不同。需要满足两个边界条件。

1. 声压在边界处必须连续
2. 粒子速度在边界处必须连续

应用第一个边界条件，

$\mathbf {p_{1}} (x=0)=\mathbf {p_{2}} (x=0)$

$\mathbf {P_{i}} +\mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{t}}$

应用第二个边界条件，并使用比声阻抗的定义，

$\mathbf {u_{1}} (x=0)=\mathbf {u_{2}} (x=0)$

$\mathbf {u_{i}} (x=0)+\mathbf {u_{r}} (x=0)=\mathbf {u_{t}} (x=0)$

${\frac {\mathbf {P_{i}} }{r_{1}}}-{\frac {\mathbf {P_{r}} }{r_{1}}}={\frac {\mathbf {P_{t}} }{r_{2}}}$

声压反射系数和透射系数分别定义为反射声压和透射声压与入射声压的比值。

$\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}$

$\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}$

比声阻抗比也定义为。

$\zeta ={\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

将上述定义应用于边界条件，

$1+\mathbf {R} =\mathbf {T}$

$1-\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {T} }{\zeta }}$

求解声压反射系数，

$\mathbf {R} =\mathbf {T} -1={\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}={\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{2}+r_{1}}}$

求解压力传递系数，

$\mathbf {T} =\mathbf {R} +1={\frac {2\zeta }{\zeta +1}}={\frac {2r_{2}}{r_{2}+r_{1}}}$

求解比声阻抗，

$\zeta ={\frac {1+\mathbf {R} }{1-\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {T} }{2-\mathbf {T} }}$

情况 1：考虑一个遇到刚性边界的入射平面波。如果介质 2 的比声阻抗远大于介质 1 的比声阻抗，则这种情况就会发生。因此，比声阻抗比非常大，反射系数接近 1，透射系数接近 2。

$\mathbf {R} =1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)=0$

$\mathbf {T} =2={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =2\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=2\mathbf {P_{i}}$

入射波和反射波的振幅相等。反射波与入射波同相。边界处的粒子速度为零。边界处的声压振幅等于入射波压振幅的两倍，并且为最大值。

情况 2：考虑一个遇到弹性边界的入射平面波。如果介质 2 的比声阻抗远小于介质 1 的比声阻抗，则这种情况就会发生。因此，比声阻抗比接近零，反射系数接近 -1，透射系数接近零。

$\mathbf {R} =-1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =-\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)={\frac {\mathbf {2P_{i}} }{r_{1}}}$

$\mathbf {T} =0={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =0\Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=0$

入射波和反射波的振幅相等。反射波与入射波$180^{\circ }$ 反相。边界处的粒子速度为最大值。边界处的声压为零。

案例 3： 考虑两种具有相同声学阻抗的介质，使得声学阻抗比为 1，反射系数为零，透射系数为 1。因此，波不会反射，只会被透射。它的行为就好像没有边界一样。