工程声学/弹性固体中的波运动

波类型

在无限介质中，两种不同的基本波类型，膨胀波和扭曲波，可以以不同的传播速度传播。膨胀波导致其传播的介质体积发生变化，但没有旋转；而扭曲波涉及旋转，但没有体积变化。具有位移场、应变场和应力场可以作为结果确定。

                                                       Figure 1: Dilatational wave

                                                       Figure 1: Distortional wave

弹性方程

用于推导出笛卡尔张量表示法中的波动方程的均匀各向同性弹性固体的弹性方程是

动量守恒

$\tau _{ij,j}+\rho f_{i}=\rho {\ddot {u_{i}}},\ (1)$

角动量守恒

$\tau _{ij}=\tau _{ji},\ (2)$

本构方程（将变形状态与牵引状态联系起来）

$\tau _{ij,j}=\lambda \epsilon _{kk}\delta _{ij}+2\mu \epsilon _{ij},\ (3)$

应变-位移关系

$\epsilon _{ij}={1 \over 2}(u_{i,j}+u_{j,i}),\ (4a)$

$\omega _{ij}={1 \over 2}(u_{i,j}-u_{j,i}),\ (4b)$

其中 $\scriptstyle \tau$ 是应力张量，$\scriptstyle \rho$ 是固体材料密度，并且 $\scriptstyle \mathbf {u}$ 是向量位移。 $\scriptstyle f$ 是体力，$\scriptstyle \lambda$ 和 $\scriptstyle \mu$ 是拉梅常数。 $\scriptstyle \epsilon$ 和 $\scriptstyle \omega$ 是应变和旋转张量。

无限介质中的波动方程

将公式 (4) 代入公式 (3)，并将结果代入公式 (1)，得到介质的 Navier 方程（以位移表示的控制方程）

$(\lambda +2\mu )u_{j,ji}+\mu u_{i,jj}+\rho f_{i}=\rho {\ddot {u_{i}}}.\ (5)$

在没有体力的情况下，均匀各向同性固体的位移运动方程可以表示为

$(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}.\ (6)$

位移可以有利地表示为标量势的梯度和矢量势的旋度的和

$\mathbf {u} =\nabla \phi \ +\nabla \times \psi ,\ (7)$

条件为 $\nabla \cdot \psi =0$. 上述方程称为亥姆霍兹（分解）定理，其中 $\scriptstyle \phi$ 和 $\scriptstyle \psi$ 被称为标量和矢量位移势。将公式 (7) 代入公式 (6) 得到

$[(\lambda +2\mu )\nabla ^{2}\phi \ -\rho {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}]+\nabla \times \ [\mu \nabla ^{2}\psi -\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}]=0.\ (8)$

公式 (8) 在以下情况下成立

$c_{p}^{2}\nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}$ 其中 $c_{p}^{2}={\frac {(\lambda +2\mu )}{\rho }},\ (9a)$

$c_{s}^{2}\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ 其中 $c_{s}^{2}={\frac {\mu }{\rho }}.\ (9b)$

公式 (9a) 是一个膨胀波方程，传播速度为 $\scriptstyle c_{p}$。这意味着膨胀扰动，或体积变化以速度 $\scriptstyle c_{p}$ 传播。公式 (9b) 是一个畸变波方程，因此畸变波以速度 $\scriptstyle c_{s}$ 在介质中传播。畸变波也被称为旋转波、剪切波或横波。

可以看出，这些波动方程比一般的运动方程更简单。因此，可以从公式 (9) 和边界条件和初始条件中找到势，然后从公式 (7) 中得出位移的解。

参考文献

[1] 弹性固体中的波运动; 卡尔·F·格拉夫，俄亥俄州立大学出版社，1975 年。

[2] 弹性波的衍射和动态应力集中; 曹兆洲，包义兴，1971 年。