工程分析/任意基底展开

经典傅里叶级数使用以下基底

$\phi (x)={1,\sin(n\pi x),\cos(n\pi x)},n=1,2,...$

然而，我们可以将这个概念推广到 L₂ 空间中的任何正交基集。

我们可以说，如果我们有一个正交基集，它由无限个任意、正交的 L₂ 函数组成

$\phi ={\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,}$

我们可以用这个基集来定义任何 L₂ 函数 f(x)

[广义傅里叶级数]

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$

使用上一章的方法，我们可以用以下公式求解系数

[广义傅里叶系数]

$a_{n}={\frac {\langle f(x),\phi _{n}(x)\rangle }{\langle \phi _{n}(x),\phi _{n}(x)\rangle }}$