工程分析/巴拿赫空间和希尔伯特空间

有一些特殊的空间被称为巴拿赫空间和希尔伯特空间。

收敛函数

让我们定义分段函数φ(x)为

$\phi _{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&x\leq 0\\nx&0<x\leq {\frac {1}{n}}\\1&{\frac {1}{n}}<x\end{matrix}}\right.$

我们可以看到，当我们设置 $n\to \infty$ 时，此函数变为单位阶跃函数。我们可以说，当 n 趋于无穷大时，此函数收敛于单位阶跃函数。请注意，此函数仅在 L₂ 空间中收敛，因为单位阶跃函数在 C 空间中不存在（它不连续）。

收敛

我们可以说函数φ收敛于函数φ^*，如果

$\lim _{n\to \infty }\|\phi _{n}-\phi ^{*}\|=0$

我们可以称其为序列，所有这些收敛于给定函数的序列，当 n 趋于无穷大时，被称为柯西序列。

完备函数空间

如果一个函数空间中所有的序列都收敛于该空间中的另一个函数，那么该函数空间被称为完备的。

巴拿赫空间

巴拿赫空间是一个完备的赋范函数空间。

希尔伯特空间

希尔伯特空间是关于由内积导出的范数的巴拿赫空间。也就是说，如果空间 X 中存在内积，那么如果我们可以写成

$\|f\|=g(\langle f,f\rangle )$

也就是说，范数可以写成内积的函数。在 L₂ 空间中，我们可以定义范数为

$\|f\|={\sqrt {\langle f,f\rangle }}$

如果内积空间是一个巴拿赫空间，那么范数空间也是一个巴拿赫空间。

在希尔伯特空间中，平行四边形法则对函数空间中的所有成员 f 和 g 成立

$\|f+g\|^{2}+\|f-g\|^{2}=2\|f\|^{2}+2\|g\|^{2}$

L₂ 空间是一个希尔伯特空间。然而，C 空间却不是。