工程分析/对角化

相似性

如果存在一个可逆矩阵 T，使得矩阵 A 和 B 满足以下关系，则称矩阵 A 和 B 相似。

$T^{-1}AT=B$

如果存在这样的矩阵 T，那么这些矩阵是相似的。相似矩阵具有相同的特征值。如果 A 的特征向量为 v₁，v₂ ...，则 B 的特征向量 u 由下式给出：

$u_{i}=Tv_{i}$

矩阵对角化

一些矩阵可以使用过渡矩阵 T 与对角矩阵相似。如果以下等式成立，则称矩阵 A 可对角化

$T^{-1}AT=D$

其中 D 是对角矩阵。一个 n × n 方阵可对角化的充要条件是它具有 n 个线性无关的特征向量。

过渡矩阵

如果一个 n × n 方阵具有 n 个不同的特征值 λ，因此有 n 个不同的特征向量 v，我们可以创建一个过渡矩阵 T 如下所示：

$T=[v_{1}v_{2}...v_{n}]$

对矩阵 X 进行变换得到

$T^{-1}AT={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}$

因此，如果矩阵有 n 个不同的特征值，则矩阵可对角化，对角矩阵的对角线元素是矩阵的相应特征值。

复特征值

考虑矩阵 A 具有一个或多个复共轭特征值对的情况。A 的特征向量也将是复数。所得对角矩阵 D 将具有复特征值作为对角线元素。在工程应用中，处理复矩阵通常不是一个好主意，因此可以使用其他矩阵变换来创建“近似对角”的矩阵。

广义特征向量

如果矩阵 A 没有一组完整的特征向量，也就是说，它们有 d 个特征向量和 n - d 个广义特征向量，那么矩阵 A 不可对角化。然而，我们可以实现第二好的结果，即矩阵 A 可以被转化为一个约旦标准型矩阵。每个由单个特征向量基形成的广义特征向量集合将创建一个约旦块。所有不产生任何广义特征向量的不同特征向量将在约旦矩阵中形成一个对角块。