工程分析/特征值和特征向量

特征问题

本页面将讨论特征向量和特征值的概念，它们是线性代数中的重要工具，在状态空间控制系统中发挥着重要作用。简单地说，“特征问题”是指给定一个 n × n 的方阵 A，存在一组 n 个标量值 λ 和 n 个对应的非零向量 v，使得

$Av=\lambda v$

我们将 λ 称为 A 的特征值，我们将v 称为 A 的对应特征向量。我们可以将这个方程重新排列为

$(A-\lambda I)v=0$

为了使这个方程满足，以便 v 为非零，矩阵 (A - λI) 必须为奇异矩阵。也就是说

$|A-\lambda I|=0$

特征方程

方阵 A 的特征方程由下式给出：

[特征方程]

$|A-\lambda I|=0$

其中 I 是单位矩阵，λ 是矩阵 A 的特征值集合。从这个方程我们可以求解 A 的特征值，然后利用上面讨论的方程，我们可以计算相应的特征向量。

一般情况下，我们可以将特征方程展开为

[特征多项式]

$|A-\lambda I|=(-1)^{n}(\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda ^{1}+c_{0})$

这个方程满足以下性质

1. $|A|=(-1)^{n}c_{0}$
2. 如果 c₀ 不为零，则 A 为非奇异矩阵。

示例：2 × 2 矩阵

假设 X 是一个二阶方阵，如下所示

$X={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

然后我们可以将这个值代入我们的特征方程

${\begin{vmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{vmatrix}}=0$

$(a-\lambda )(d-\lambda )-(b)(c)=0$

上述方程的根（满足等式的 λ 值）是 X 的特征值。

特征值

矩阵 X 的特征方程的解 λ 被称为矩阵 X 的特征值。

特征值满足以下性质

1. 如果 λ 是 A 的特征值，则 λⁿ 是 Aⁿ 的特征值。
2. 如果 λ 是 A 的复特征值，则 λ^*（复共轭）也是 A 的特征值。
3. 如果 A 的任何特征值为零，则 A 为奇异矩阵。如果 A 为非奇异矩阵，则 A 的所有特征值均不为零。

特征向量

特征方程可以改写如下

$Xv=\lambda v$

其中 X 是所考虑的矩阵，λ 是矩阵 X 的特征值。对于每个独特的特征值，都有一个方程的解向量 v，称为特征向量。上述方程也可以改写为

$|X-\lambda I|v=0$

其中对于每个特征值 λ，v 的结果值是 X 的特征向量。对于 X 的每个唯一特征值，都有一个唯一的特征向量。从这个方程中，我们可以看出 A 的特征向量构成了零空间

$v={\mathcal {N}}\{A-\lambda I\}$

因此，我们可以通过对该矩阵进行行变换来找到特征向量。

特征向量满足以下性质

1. 如果 v 是 A 的复特征向量，则 v^*（复共轭）也是 A 的特征向量。
2. A 的不同特征向量是线性无关的。
3. 如果 A 是 n × n 矩阵，并且存在 n 个不同的特征向量，则 A 的特征向量构成 ${\mathcal {R}}^{n}$ 的一组完整基。

广义特征向量

假设矩阵A具有以下特征多项式

$(A-\lambda I)=(-1)^{n}(\lambda -\lambda _{1})^{d_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{d_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{s})^{d_{s}}$

其中 d₁、d₂、... 、d_s 被称为特征值 λ_i 的代数重数。还要注意 d₁ + d₂ + ... + d_s = n，并且 s < n。换句话说，A 的特征值是重复的。因此，这个矩阵没有 n 个不同的特征向量。但是，我们可以通过满足以下方程来创建称为广义特征向量的向量，以弥补缺失的特征向量。

$(A-\lambda I)^{k}v_{k}=0$

$(A-\lambda I)^{k-1}v_{k}=0$

右特征向量和左特征向量

确定特征向量的方程为

$(A-\lambda I)v=0$

由于特征向量v在右侧，因此它们更恰当地被称为“右特征向量”。但是，如果我们将方程改写如下

$u(A-\lambda I)=0$

向量u被称为矩阵 A 的“左特征向量”。