工程分析/傅里叶级数

L₂空间是一个无限函数空间，因此任何无限正交函数集的线性组合都可以用来表示L₂空间中的任何单个成员。L₂函数根据无限基集分解的技术被称为该函数的傅里叶分解，并产生称为傅里叶级数的结果。

傅里叶基

让我们考虑一组L₂函数，$\phi$，如下所示

$\phi =\{1,\sin(\pi x),\cos(\pi x),\sin(2\pi x),\cos(2\pi x),\sin(3\pi x),\cos(3\pi x)...\}.\$

我们可以证明，在范围 $[0,2\pi ]$ 内，所有这些函数都是正交的

$\int _{0}^{2\pi }1\cdot \cos(n\pi x)dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }1\cdot \sin(n\pi x)dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)dx=0,n\neq m$

$\int _{0}^{2\pi }\sin(n\pi x)\cos(m\pi x)dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }\cos(n\pi x)\cos(m\pi x)dx=0,n\neq m$

因为 $\phi$ 是L₂中无限正交集，$\phi$ 也是L₂空间中一个有效的基集。因此，我们可以将L₂中的任何函数分解为以下总和

[经典傅里叶级数]

$\psi (x)=a_{0}(1)+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(n\pi x)+\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\cos(m\pi x)$

然而，当我们需要计算 a 和 b 系数时，就会遇到困难。我们将在下面展示如何进行计算。

a₀：常数项

a₀ 的计算最为简单，因此我们将首先展示如何计算它。我们使用 a₀ 的值来最小化傅里叶级数逼近 $f(x)$ 的误差。

首先，定义一个误差函数 E，它等于函数 f(x) 和上面无限和之间的差的平方范数。

$E={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\|f(x)-a_{0}(1)-\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(n\pi x)-\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\cos(m\pi x)\|^{2}dx$

为了方便，我们将所有基函数写成集合 φ，如上所述。

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i}=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(n\pi x)+\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\cos(m\pi x)$

将最后两个函数组合在一起，并将范数写成积分，我们可以说

$E={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }|\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i}|^{2}dx$

我们尝试最小化关于常数项的误差函数。为此，我们对两边关于 a₀ 进行微分，并将结果设为零。

$0={\frac {\partial E}{\partial a_{0}}}=\int _{0}^{2\pi }(f(x)-\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i}(x))(-\phi _{0}(x))dx$

φ₀ 项从和式中移出是由于链式法则：它是整个和式中唯一依赖于 a₀ 的项。我们可以将上面的积分分离如下：

$\int _{0}^{2\pi }(f(x)-\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i})(-\phi _{0})dx=-\int _{0}^{2\pi }f(x)\phi _{0}(x)dx+a_{0}\int _{0}^{2\pi }\phi _{0}(x)\phi _{0}(x)dx$

所有其他项都从无限和式中消失了，因为它们都与 φ₀ 正交。同样，我们可以用标量积来改写上面的方程

$0=-\langle f(x),\phi _{0}(x)\rangle +a_{0}\langle \phi _{0}(x),\phi _{0}(x)\rangle$

通过求解上述方程，我们可以得到常数项系数的最终结果

$a_{0}={\frac {\langle f(x),\phi _{0}(x)\rangle }{\langle \phi _{0}(x),\phi _{0}(x)\rangle }}$

正弦项系数

使用上述方法，我们可以求解正弦项系数 a_n

$a_{n}={\frac {\langle f(x),\sin(n\pi x)\rangle }{\langle \sin(n\pi x),\sin(n\pi x)\rangle }}$

余弦项系数

同样使用上述方法，我们可以求解余弦项系数 b_n

$b_{n}={\frac {\langle f(x),\cos(n\pi x)\rangle }{\langle \cos(n\pi x),\cos(n\pi x)\rangle }}$