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工程分析/函数空间

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函数空间

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函数空间是一个线性空间,其中空间的所有元素都是函数。具有范数运算的函数空间被称为范数函数空间。我们考虑的空间都将是范数空间。

连续性

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f(x)x0 处连续,如果对于每个 ε > 0,存在 δ(ε) > 0,使得当 |x - x0| < δ(ε) 时,|f(x) - f(x0)| < ε。

常见函数空间

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这里列出了一些常见的函数空间。这不是一个详尽的列表。

C 函数空间是所有连续函数的集合。

C 空间的度量定义为

考虑 sin(x)cos(x) 的度量

Cp 空间

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Cp 是所有连续函数的集合,其前 p 个导数也是连续的。如果 ,则该函数称为“无限连续”。集合 是所有此类函数的集合。一些无限连续的函数例子包括指数函数、正弦函数和多项式。

L 空间是所有在给定区间 [a, b] 上有限可积的函数的集合。

f(x) 属于 L(a, b),如果

L p 空间

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Lp 空间是所有在给定区间 [a, b] 上升至 p 次方时有限可积的函数的集合

对工程来说,最重要的是 L2 空间,或者“平方可积”函数的集合。

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