工程分析/矩阵

导数

考虑以下线性方程组

$a=bx_{1}+cx_{2}$

$d=ex_{1}+fx_{2}$

我们可以定义矩阵A来表示系数，向量B作为结果，向量x作为变量

$A={\begin{bmatrix}b&c\\e&f\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}a\\d\end{bmatrix}}$

$x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$

然后用矩阵重新写方程，我们得到

$B=Ax$

现在，假设我们想要这个方程关于向量x的导数

${\frac {d}{dx}}B={\frac {d}{dx}}Ax$

我们知道第一项是常数，所以等式左边的导数为零。分析右边，我们发现

伪逆

有一些被称为伪逆的特殊矩阵，它们满足逆矩阵的部分性质，但并不满足其他性质。概括来说，如果我们有两个n × n的方阵A和B，那么如果以下等式成立，我们就说A是B的逆矩阵，B是A的逆矩阵

$AB=BA=I$

右伪逆

考虑以下矩阵

$R=A^{T}[AA^{T}]^{-1}$

我们称这个矩阵R为A的右伪逆，因为

$AR=I$

但

$RA\neq I$

我们将 A 的右伪逆表示为 $A^{\dagger }$

左伪逆

考虑以下矩阵

$L=[A^{T}A]^{-1}A^{T}$

我们称 L 为 A 的左伪逆，因为

$LA=I$

但

$AL\neq I$

我们将 A 的左伪逆表示为 $A^{\ddagger }$