工程分析/矩阵形式

遵循某些预定义格式的矩阵在许多计算中很有用。我们将在此讨论一些常见的矩阵格式。后面的章节将展示这些格式如何在计算和分析中使用。

对角矩阵

对角矩阵是指满足以下条件的矩阵：

$a_{ij}=0,i\neq j$

换句话说，主对角线之外的所有元素都为零，对角线元素可以是非零的（但不需要）。

伴随形式矩阵

如果我们有一个矩阵的以下特征多项式：

$|A-\lambda I|=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda ^{1}+a_{0}$

我们可以通过两种方式之一创建伴随形式矩阵：

${\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&0&\cdots &0&-a_{2}\\0&0&1&\cdots &0&-a_{3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{bmatrix}}$

或者，我们也可以写成：

${\begin{bmatrix}-a_{n-1}&-a_{n-2}&-a_{n-3}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

约旦标准型

为了讨论约旦标准型，我们需要先介绍约旦块的概念。

约旦块

约旦块是一个方阵，其所有对角元素都相等，所有超对角元素（对角元素正上方的元素）都为 1。为了说明这一点，这里是一个 n 维约旦块的示例：

${\begin{bmatrix}a&1&0&\cdots &0\\0&a&1&\cdots &0\\0&0&a&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&a&\cdots &1\\0&0&0&\cdots &a\end{bmatrix}}$

标准型

如果一个方阵是对角矩阵，或者它具有以下两种块对角形式之一，那么它就处于**约旦标准型**。

${\begin{bmatrix}D&0&\cdots &0\\0&J_{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J_{n}\end{bmatrix}}$

或者

${\begin{bmatrix}J_{1}&0&\cdots &0\\0&J_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J_{n}\end{bmatrix}}$

其中D元素是对角块矩阵，J块处于约旦块形式。