工程分析/矩阵函数

如果我们有函数，并将矩阵作为这些函数的输入，则输出值并不总是直观的。例如，如果我们有一个函数f(x)，并将矩阵A用作输入参数，则输出矩阵不一定是将函数f应用于A的各个元素。

对角矩阵

在对角矩阵的特殊情况下，f(A)的结果是将函数应用于对角矩阵的每个元素

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

然后函数f(A)由下式给出

$f(A)={\begin{bmatrix}f(a_{11})&0&\cdots &0\\0&f(a_{22})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &f(a_{nn})\end{bmatrix}}$

约当标准型

约当标准型的矩阵也有一种简单的方法来计算矩阵的函数。但是，这种方法并不像上面描述的对角矩阵那样容易。

如果我们有一个约当块形式的矩阵A，则函数f(A)由下式给出

$f(A)={\begin{bmatrix}{\frac {f(a)}{0!}}&{\frac {f'(a)}{1!}}&\cdots &{\frac {f^{(r-1)}(a)}{(r-1)!}}\\0&{\frac {f(a)}{0!}}&\cdots &{\frac {f^{(}r-2)(a)}{(r-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {f(a)}{0!}}\end{bmatrix}}$

矩阵索引已被删除，因为在约当块形式中，所有对角元素必须相等。

如果矩阵处于约当块形式，则函数的值将作为应用于各个对角块的函数给出。