工程分析/概率函数

概率密度函数

随机变量的概率密度函数或pdf是由以下定义的函数

$f_{X}(x)=P[X=x]$

请记住，这里 X 是随机变量，x 是一个相关变量（但不是随机的）。$f_{X}$ 下标 X 表示这是 X 变量的 pdf。

pdf 遵循一些简单的规则

1. pdf 始终非负。
2. pdf 曲线下的面积为 1。

   $\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)dx=1$

累积分布函数

累积分布函数 (CDF) 也称为概率分布函数 (PDF)。为了避免与随机变量的 pdf 混淆，我们将使用缩写 CDF 来表示此函数。随机变量的 CDF 由以下函数定义

$F_{X}(x)=P[X\leq x]$

随机变量的 CDF 和 pdf 之间存在关系

$f_{X}(x)={\frac {dF_{X}(x)}{dx}}$

$F_{X}(x)=\int f_{X}(x)dx$

CDF 是对应于给定值x 小于随机变量 X 的值的概率的函数。CDF 是一个非递减函数，并且始终非负。

示例：X 在两个边界之间

为了确定随机变量 X 是否位于两个边界 [a, b] 之间，我们可以使用 CDF 函数

$P[a\leq X\leq b]=F_{X}(b)-F_{X}(a)$