工程分析/二次型

如果我们有一个 n × 1 向量 x 和一个 n × n 对称矩阵 M，我们可以写成

$x^{T}Mx=a$

其中 a 是一个标量值。这种形式的方程称为二次型。

矩阵的正定性

根据矩阵的二次型，我们可以为特殊类型的矩阵创建若干个类别

1. 如果 $x^{T}Mx>0$ 对所有 x 成立，则该矩阵为正定。
2. 如果 $x^{T}Mx\geq 0$ 对所有 x 成立，则该矩阵为半正定。
3. 如果 $x^{T}Mx<0$ 对所有 x 成立，则该矩阵为负定。
4. 如果 $x^{T}Mx\leq 0$ 对所有 x 成立，则该矩阵为半负定。

这些分类在控制工程中很常见。