工程分析/随机变量
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随机变量是指在任何特定时间点 *t* 都会取随机值的变量。随机变量的属性被称为随机变量的 **分布**。我们将用缩写“r.v.”或简写“rv”来表示随机变量。这是在有关该主题的文献中常用的约定。
概率函数 P[] 将表示特定事件发生的概率。以下是一些示例
- ，随机变量 X 的值小于某个变量 *x* 的概率。
- ，随机变量 X 的值等于某个变量 *x* 的概率。
- ，随机变量 X 的值小于 *x* 且随机变量 Y 的值大于 *y* 的概率。
![{\displaystyle P[X<x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2399aed5cc5e3e4050c2ddb1b2cfc4bef3e562c)
![{\displaystyle P[X=x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5679b8223b3f4cfc7de60a662d47cff5bc2d961e)
![{\displaystyle P[X<x,Y>y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04aa17ecd6ef7da4fd5d8fc4189847365bff0a88)
考虑一个公平硬币被抛掷的例子。我们将定义 X 为随机变量，并将“正面”定义为 1，“反面”定义为 0。硬币为正面的概率是多少？
![{\displaystyle P[X=1]=0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc62dbab8d23b4527af780cc51684d983213379b)
现在考虑一个公平的 6 面骰子。X 是 r.v.，骰子面上面的数字值是 X 可以取的值。掷骰子时，值小于 4 的概率是多少？
![{\displaystyle P[X<4]=0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33677818711cc51008de23cbca3e27bb8c260adb)
值是偶数的概率是多少？
![{\displaystyle P[X{\mbox{ is even}}]=0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5f7c8d415e6a820582f484a1333532f71bc0a8)
我们通常将随机变量写成大写字母，例如 Z、X、Y 等。小写字母将用于表示与随机变量相关的变量。例如，我们将使用“x”作为与随机变量“X”相关的变量。
当我们将随机变量与矩阵结合使用时，我们将使用以下约定
- 随机变量，以及随机向量或矩阵将用字母表末端的字母表示，例如 W、X、Y 和 Z。此外，Θ 和 Ω 将用作随机变量，尤其是在我们谈论随机频率时。
- 随机矩阵或向量将用大写字母表示。该随机向量或矩阵中的条目将用大写字母和下标表示。这些矩阵还将使用字母表末端的字母，或希腊字母 Θ 和 Ω。
- 非随机的常规系数向量或矩阵将使用字母表开头的字母表示大写矩阵，例如 A、B、C 或 D。
- 从随机变量导出的特殊向量或矩阵，例如相关矩阵或协方差矩阵，将使用字母表中间的大写字母表示，例如 K、M、N、P 或 Q。
任何其他变量或符号将在其出现的页面上下文中进行解释。
**条件概率** 是在另一个事件已经发生的情况下，一个事件发生的概率度量。例如，你正在阅读此页面时，你的电脑系统突然崩溃的几率是多少？
![{\displaystyle P[{\mbox{computer breaks}}]={\mbox{small}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95eda742933270f3cccbd77d6ae7a89d787345a1)
你的电脑突然停止工作的几率非常小。但是，如果你的电脑刚刚被闪电击中，那么你的电脑会坏的几率是多少？
![{\displaystyle P[{\mbox{computer breaks}}|{\mbox{struck by lightning}}]={\mbox{large}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba6a7658f058fa696c11d1578a0dcc756c2a5b4)
竖线将尚未发生的事件（左侧的先验概率）与已经发生并可能影响结果的事件（右侧的后验概率）隔开。例如，假设我们知道骰子掷出的数字小于 4，那么掷出 2 的概率是多少？
![{\displaystyle P[X=2|X<4]=0.33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a24c2e2433cf6eb681462376bac0bba07ee21c)
如果 X 小于 4，我们知道它只能是 1、2 或 3 中的一个值。另一个例子，如果一个人问你“我在想 1 到 10 之间的某个数字”，你猜对的概率是多少？
![{\displaystyle P[X=x|0<X<10]=0.1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd91009daa7e690b0440f1d241c1370d7d210611)
其中 x 是您试图猜测的正确数字。