工程分析/小波

小波是只在时间上的特定窗口内存在的正交基函数。 这与正弦波形成对比，正弦波在所有时间 t 上都存在。 小波由于依赖于时间，因此可以用作基函数。 小波基集产生小波分解，它是对一元函数的二维分解。 小波分析允许我们根据时间和频率对函数进行分解，而傅立叶分解只允许我们根据频率对函数进行分解。

母小波

如果我们有一个基本的小波函数 ψ(t)，我们可以写出一个二维函数，称为母小波函数，如下所示

$\psi _{jk}=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k)$

小波级数

如果我们有母小波函数，我们可以写出傅里叶风格的级数，作为所有小波的双重求和

$f(t)=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{jk}\psi _{jk}(t)$

尺度函数

有时，我们可以添加一个额外的函数，称为尺度函数

$f(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\phi _{i}+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{jk}\psi _{jk}(t)$

这样做的目的是，尺度函数比小波函数更大，并且占用更多时间。 在这种情况下，尺度函数将显示信号的长期变化，小波函数将显示信号的短期变化。