1 静力学导论

力学

力学是物理学的一个分支，它研究物理物体在受到力的作用或位移时的行为，以及物体对其环境的后续影响。力学中只有很少的原理，但它们在工程中有着广泛的应用。这些原理构成了振动、结构稳定性和强度、流体力学等高级研究的基础。因此，深入理解力学对于这些研究领域的进步，或仅仅成为一名优秀的工程师至关重要。

力学是最古老的物理科学。古代力学的主要理论是亚里士多德力学。在中世纪，亚里士多德的理论受到包括 6 世纪的约翰·菲洛波努斯在内的许多人的批评和修改。一个中心问题是抛射运动问题，这个问题由喜帕恰斯和菲洛波努斯讨论过。这导致了 14 世纪法国让·布里丹提出的冲量理论的发展，该理论发展成现代的惯性、速度、加速度和动量理论。这项工作和其他工作在 14 世纪的英国由牛津计算家（如托马斯·布拉德沃丁）发展起来，他们研究并制定了关于落体运动的各种定律。关于物体受恒定（均匀）力作用的问题，12 世纪的犹太-穆斯林希巴特·阿拉·阿布·巴拉克特·巴格达迪指出，恒定力赋予恒定加速度，而主要性质是均匀加速运动（如落体运动）是由 14 世纪的牛津计算家们研究出来的。早期近代的两位重要人物是伽利略·伽利雷和艾萨克·牛顿。伽利略关于他力学的最终陈述，特别是关于落体的陈述，是他于 1638 年发表的《两种新科学》。牛顿在 1687 年发表的《自然哲学的数学原理》利用新发展的微积分数学对力学进行了详细的数学描述，为牛顿力学奠定了基础。

在这本书中，我们不会进行大多数理论研究——就像我们在物理书中做的那样；内容将与力学原理的应用相平衡。力学原理最好用数学来描述，因此我们将从描述静力学的数学原理开始。

力学主题分为两个部分：静力学和动力学；然后进一步细分为我们不会在这本书中涵盖的主题。

基本概念

对以下内容的定义: 空间是指物体和事件发生并具有相对位置和方向的无限三维范围。二维空间用两个坐标 ( $x$ 和 $y$ ) 来描述，而三维空间（物理现实）用三个坐标 ( $x$ ， $y$ ，和 $z$ ) 来描述。; 时间是用来排序事件、比较事件持续时间和它们之间间隔以及量化变化率（如物体运动）（与静力学问题的分析无关）的度量系统的一部分。; 质量通常指的是物质以下三种性质中的一种，这些性质在实验中被证明是等效的：惯性质量、主动引力质量和被动引力质量。后者在静力学中经常被用到。; 力是任何导致物体速度变化、方向变化或形状变化的影响。力也可以用直观的概念来描述，例如推动或拉动，它会导致有质量的物体改变其速度，即加速。力既有大小也有方向，是一个矢量量（将在第 2 章中讨论）。; 粒子是一个小的局部物体，可以赋予它几个物理性质，例如体积或质量。物体是否可以被认为是粒子取决于环境的尺度；如果物体的自身大小很小或可以忽略不计，或者几何性质和结构无关紧要，那么它就可以被认为是粒子。; 刚体是有限大小的固体的理想化，其中忽略了变形。换句话说，无论施加在刚体上的外力如何，任何两个给定点的距离都始终保持不变。如果材料上的变形在影响解方面可以忽略不计，那么可以使用刚体来构建合适的模型。

标量和向量

物理学中有两种类型的量：标量和向量。标量只有大小，例如时间、体积、速度、能量、质量和密度。矢量量由大小和方向共同描述；例如位移、速度、加速度、力、力矩和动量。速度是具有方向分量的速度。

向量类型: 自由向量有大小和方向，与任何向量一样，但起点并不重要，即在空间中浮动的向量。正如我们将看到的，自由向量在描述运动物体的位移时很方便。; 滑动向量在空间中有一条作用线，但没有特定的作用点。一个例子是力——无论力在物体上的作用点如何，结果都是一样的。; 固定向量具有特定的作用点。当描述作用在非刚性（可变形）物体上的力时，这种类型的向量变得很重要。

图表和方程的约定

矢量量， ${\textbf {V}}$ ，如图 1.1 所示，用一条带箭头指示方向的线段表示。线段的长度表示矢量的大小， $|V|$ （印刷为 $V$ ），使用方便的比例，例如 1 厘米等于 10 牛顿。

由于在手写工作中加粗字母很困难/费时，所以可以用线或箭头在字母上方表示，例如 ${\overline {V}}$ 或 ${\vec {V}}$ 。其他人可能使用插入符号，或下划线 ${\underline {V}}$ 。在得出正确答案时，维护矢量和标量之间的数学区别非常重要，因此请使用您习惯的方式。

使用矢量

矢量的方向可以用一个角度来描述，该角度是从已知的起点和参考线给出的，如图 1.1 所示。由于大小总是正数， $-{\textbf {V}}$ 与 ${\textbf {V}}$ 长度相同，但方向相反 ( $180^{\circ }$ ）。

(a)

(b)

(c)

图 1.2：平行四边形法则

矢量遵守平行四边形法则。该定律指出，自由矢量， $\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ ，可以用 $\mathbf {V}$ 替换，它是两个自由矢量作为边的平行四边形的对角线，如图 1.2a 所示。这被称为 *矢量和*，可以用以下数学表达式表示。

 $\mathbf {V} =\mathbf {V_{1}} +\mathbf {V_{2}}$

在符号上，*矢量和* 由粗体矢量之间的加号表示。这与两个矢量的 *标量和* $V_{1}+V_{2}$ 不应混淆。由于平行四边形的几何形状，显然 $V\neq V_{1}+V_{2}$ 。

或者，向量 $\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ ，再次视为自由向量，可以使用三角形法则进行求和，如图 1.2c 所示，得出向量和 $\mathbf {V}$ 。使用您最熟悉的方法 - 它们是等价的。向量和满足交换律，即 $\mathbf {V_{1}} +\mathbf {V_{2}} =\mathbf {V_{2}} +\mathbf {V_{1}}$ 。

两个示例向量的向量差， $\mathbf {V_{2}} -\mathbf {V_{1}}$ ，可以使用平行四边形法则或三角形法则（见图 1.3）通过添加 $-\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ ，得到向量差 $\mathbf {V^{\prime }}$ 代表 *向量减法* 的方程如下

 $\mathbf {V^{\prime }} =\mathbf {V_{2}} -\mathbf {V_{1}}$

上述向量运算可以通过逐对加减应用于两个以上的向量。这些方程式中涉及的自由向量称为向量分量。为了说明这一点，请参见图 1.4a：向量 $\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ 构成 $\mathbf {V}$ 在 $1$ 和 $2$ 方向上的分量向量。通常，我们使用矩形分量来利用方便的三角函数，如图 1.4b 所示。作为另一种数学便利，笛卡尔坐标系用于描述物理系统，这可以通过使用 $x$ 和 $y$ 作为下标和坐标来证明。图 1.4c 说明了使用另一种矩形坐标系，该坐标系可以被视为相对于 $x$ 和 $y$ 的相对坐标。当您遇到复杂的力学问题时，相对坐标系将变得有用。

(a)

(b)

(c)

图 1.4：平行四边形组合定律

向量可以分成大小和方向。使用下式中的反正切函数可以很容易地确定向量的方向； $\theta$ 被认为是方向，在笛卡尔坐标系中从正 x 轴测量。

 $\theta =\tan ^{-1}{\frac {V_{y}}{V_{x}}}$

将 $V$ 作为向量大小，向量可以描述为其大小乘以其单位向量。 $\mathbf {V}$ 的值不会因此而改变，因为单位向量指示正确方向并具有大小为 1。

 ${\textbf {V}}=V{\textbf {n}}$

为了在 2 或 3（正交）维中描述向量，我们使用单位向量 $\mathbf {i}$ 、 $\mathbf {j}$ 和 $\mathbf {k}$ 来分别指示向量朝向 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的方向（如图 1.5 所示）。

${\textbf {V}}=V_{x}{\textbf {i}}+V_{y}{\textbf {j}}+V_{z}{\textbf {k}}$

牛顿定律

牛顿运动定律是三个物理定律，构成了经典力学的基本定律。它们描述了作用在物体上的力和物体由于这些力而产生的运动之间的关系。

定律 1：除非物体受到外力的作用，否则物体的速度保持不变。
定律 2：物体的加速度 ${\textbf {a}}$ 与力的矢量和 ${\textbf {F}}$ 平行且成正比，并与质量 $m$ 成反比。
定律 3：两个物体之间的相互作用力和反作用力相等、方向相反且共线。

这些定律很容易通过精确的物理测量来验证，就像你在高中物理课上做的那样。牛顿第二定律在动力学分析中最为有用，因为它描述了我们可以测量的量（以及我们不能测量的量）之间的直接数学关系。应用于粒子质量（没有尺寸） $m$ ，牛顿第二定律可以表述为

${\textbf {F}}=m{\textbf {a}}$ (式 1.1)

其中 ${\textbf {F}}$ 是作用在粒子质量上的力的矢量和， ${\textbf {a}}$ 是粒子质量的产生的加速度。等式 1.1 是一个 *矢量方程*，因为 ${\textbf {F}}$ 的方向必须与 ${\textbf {a}}$ 的方向共线，力的矢量和的幅度 $|{\textbf {F}}|$ 必须等于另一边的幅度 $|m{\textbf {a}}|$ 。

重新说明牛顿第一定律，物体保持静止，除非受到不平衡的合力的作用。这个说法是速度在这种情况下保持不变的结果（速度为 $0$ 的物体处于静止状态）。因此，**第一定律在我们对静力的分析中至关重要**。这条定律是牛顿第二定律的结果，也就是说，当力的矢量和为零时，加速度为零。

牛顿第三定律对于我们解决静力学问题的解题方法至关重要。当作用在物体上的力时，物体上的作用力的大小相等，方向相反。这条定律适用于所有力，无论它们是可变的还是恒定的，来自所有来源，适用于所有时间点。**对于存在重力的系统，两个相互接触的物体将具有相等且相反的力，除非它们的接触切线与重力加速度共线。**

在分析物体和力的系统时，必须注意力的对，以避免混淆。为了简化您的分析，最好 *隔离* 系统，考虑一个物体以及作用 *在* 它上的力。

单位

在力学中，我们使用四个基本量，称为 *量纲*：长度、质量、力、和时间。用于测量这些量的单位必须在我们的方程中相互一致，例如牛顿第二定律，式 1.1；也就是说，您不能在同一个方程中混合 SI 单位和美国习惯单位。有许多单位制，但本文将使用科学和工程中常用的单位制。请参阅下表以了解四个基本量纲及其单位和符号。

数量	量纲符号	SI 单位			美国习惯单位
数量	量纲符号	单位		符号	单位		符号
质量	M	基本单位 ${\Bigg \{}$	千克	kg		slug	—
长度	L		米	m	基本单位 ${\Bigg \{}$	英尺	ft
时间	T		秒	s		秒	sec
力	F		牛顿	N		磅	lb

SI 单位

国际单位制（简称 SI，源自法语：Système international d'unités）是现代公制形式，通常是围绕七个基本单位和十进制的便利性而设计的测量单位系统。 SI 是世界上使用最广泛的测量系统，在日常商业和科学中都使用。该系统已在全球范围内几乎被采用，美国是唯一一个在商业和标准活动中没有主要使用公制系统的工业化国家。如表所示，SI 基本单位是千克 (kg) 用于质量，米 (m) 用于长度，秒 (s) 用于时间。力的单位，牛顿 (N)，由公式 1.1 从基本单位推导出。

 ${\text{N}}={\text{kg}}\cdot {\text{m}}/{\text{s}}^{2}$

因此，1 牛顿是使 1 kg 质量以 1 m/s² 加速所需的力。

考虑一个质量 $m$ ，它正在自由落体朝向地球。简而言之，这个质量只有重力作用于它；因此它正在以重力加速度 $g$ 下降。这种重力被称为物体的重量 $W$ ，由公式 1.1 求得

 $W{\text{ (N)}}=m{\text{ (kg)}}\times g{\text{ (m}}/{\text{s}}^{2}{\text{)}}$

美国习惯单位

美国习惯单位，也称为英尺-磅-秒 (FPS) 系统，是美国常用的测量系统。许多美国单位实际上与其英制对应物相同，但美国习惯单位是在 1824 年英制系统标准化之前，从大英帝国使用的英国单位发展而来的。与英制系统存在若干数值差异。工程师必须能够使用 SI 和美国习惯单位，本书中两种系统都可自由使用。

类似于牛顿从公制基本单位的推导，我们可以使用公式 1.1 推导出美国习惯单位的质量单位，即 slug。

${\text{slug}}={\frac {{\text{lb}}\cdot {\text{ft}}}{{\text{sec}}^{2}}}$

因此，1 slug 是在 1 lb 力作用下以 1 ft/sec² 加速的质量。slug 也可以用质量的重力或重量表示，使用公式 1.1

$m{\text{(slugs)}}={\frac {W{\text{ (lb)}}}{g{\text{ (ft/sec}}^{2}{\text{)}}}}$

在美国单位中，磅也被用来表示质量，特别是指定液体和气体的热性质。然后缩写是 lbm 表示磅质量，lbf 表示磅力。在本教材中，我们将只使用磅 (lb) 表示力。工程和科学中其他有用的力单位是千磅 (kip)，它等于 1000 磅，以及吨，它等于 2000 磅。

国际单位制是一个绝对系统，因为它的基本单位不依赖于环境。相反，美国系统 (FPS) 是一个重力系统，因为它的基本量力被定义为标准质量在海平面、北纬 45 度的重力 (重量)。标准磅也是使一磅质量以 32.1740 ft/sec² 加速所需的力。

主要标准

已经为质量、长度和时间的测量制定了国际标准。

质量

千克 (kg) 是 SI 中的质量基本单位，定义为等于国际千克原器 (IPK) 的质量，几乎正好等于一升水的质量。在美国国家标准与技术研究院 (NIST) 保存着 IPK 的精确复制品。物理标准的质量并不恒定；还没有提出任何合理的机制来解释 IPK 质量的持续下降，或者世界各地分散的复制品的质量增加。然而，解决这个问题的长期方案是通过开发一种可在不同实验室中通过遵循书面规范复制的千克实用实现来消除 SI 系统对 IPK 的依赖。国际磅，在英制系统和美国习惯单位中都使用，被定义为正好为 0.45359237 kg，因此一公斤大约等于 2.2046 磅。

长度

米 (m) 是 SI 中的长度基本单位。最初意在是地球赤道到北极（海平面）距离的千万分之一，它的定义已定期改进以反映计量学的不断发展。自 1983 年以来，它被定义为光在真空中在 $^{1}/_{299,792,458}$ 秒的时间间隔内传播的路径的长度。

时间

秒 (s) 是 SI 和其他系统中的时间基本单位。在 1000 年（当 al-Biruni 使用秒时）到 1960 年之间，秒被定义为平均太阳日的 1/86,400（该定义在某些天文和法律语境中仍然适用）。在 1960 年到 1967 年之间，它是在地球绕太阳运行轨道的周期内定义的，但现在它在原子术语中定义得更精确。自 1967 年以来，秒被定义为：铯 133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应辐射的 9,192,631,770 个周期的持续时间。

重力

标准重力，或标准自由落体加速度， $g$ ，是物体在地球表面附近真空中的标称加速度。的值 $g$ 是地球上的一个标称中值，最初基于物体在海平面、大地纬度 45°处的自由落体加速度。虽然地球上的实际自由落体加速度会因位置而异，但上述标准值始终用于计量目的。它被定义为

SI 单位: $9.80665{\text{ m/s}}^{2}$ ，或 $\approx 35.30394{\text{ (km/h)/s}}$ .
美制单位: $32.1740{\text{ ft/s}}^{2}$ 或 $\approx 21.937{\text{ mph/s}}$ .

对于大多数工程工作，这些标准的精度已经足够了。

单位换算

工程静力学/附录/转换系数工程静力学/附录/力学中使用的 SI 单位

万有引力定律

在力学中，我们经常需要计算物体的重量。我们可以用牛顿的 *万有引力定律* 计算这个力。

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$ (Eqn 1.2)

${\begin{array}{rcl}{\text{where }}F&=&{\text{the force between the masses}}\\G&=&{\text{the gravitational constant }}(=6.67384\times 10^{-11}{\frac {{\text{ m}}^{3}}{{\text{kg}}\cdot {\text{s}}^{2}}})\\m_{1},m_{2}&=&{\text{two particle masses}}\\r&=&{\text{the distance between the centers of the masses}}\end{array}}$

当然，相互作用力遵循牛顿作用力与反作用力定律。这些力沿着 $r$ 作用，如图 1.7 所示。

精度、限制和近似值

静力学问题解决

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