工程表格/拉普拉斯变换表 2

ID	函数	时域 $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	拉普拉斯域 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	收敛域 对于因果系统
1	理想延迟	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	单位脉冲	$\delta (t)\$	$1\$	$\mathrm {all} \ s\,$
2	延迟的n次方，并伴随频率偏移	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>0\,$
2a	n次方	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	q次方	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	单位阶跃	$u(t)\$	${1 \over s}$	$s>0\,$
2b	延迟单位阶跃	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$s>0\,$
2c	斜坡	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0\,$
2d	n次幂频移	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2d.1	指数衰减	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$s>-\alpha \$
3	指数逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
4	正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5	余弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
6	双曲正弦	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
7	双曲余弦	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
8	指数衰减正弦	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
9	指数衰减余弦	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
10	n次根	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0\,$
11	自然对数	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$s>0\,$
12	贝塞尔函数 第一类，n阶	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$s>0\,$ $(n>-1)\,$
13	修正贝塞尔函数 第一类，n阶	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$s>|\omega |\,$
14	贝塞尔函数 第二类零阶贝塞尔函数	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
15	修正贝塞尔函数 第二类零阶贝塞尔函数	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	误差函数	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s>0\,$
17	常数	$C$	$\displaystyle {\frac {C}{s}}$
解释说明 $u(t)\,$ 表示单位阶跃函数。 $\delta (t)\,$ 表示狄拉克δ函数。 $\Gamma (z)\,$ 表示伽马函数。 $\gamma \,$ 是欧拉-马歇罗尼常数。 $t\,$ 是一个实数，通常表示时间， 但它也可以表示任何独立维度。 $s\,$ 是复角频率。 $\alpha \,$，$\beta \,$，$\tau \,$，$\omega \,$ 和 $C$ 是实数。 $n\,$ 是一个整数。 因果系统是指在所有时间 t 小于 t=0 时，冲激响应 h(t) 均为零的系统。通常情况下，因果系统的 ROC 与反因果系统的 ROC 不同。另请参见因果关系。